Surfaces réglées

Pour le cône il faut et il suffit d'étudier l'intersection entre le plan d'équation x=0 et le cône. Pour le cylindre c'est assez évident enfin pour le paraboloïde il faut et il suffit d'étudier l'intersection du paraboloïde et du plan d'équation z=0.
Voilà

Lorsque tu as un point à courbure négative sur une surface, tu as toujours deux droites appelées droites asymptotique dont la multiplicite d'intersection avec la surface est au moins trois (évident).
Si ta surface est de degré 2 comme c'est le cas pour l'hyperboloïde alors ces deux droites sont forcément contenues dans ta surface, qui est du coup doublement réglée.
M.

Parce qu'il ne contient pas des droites mais des demi-droites ; c'est comme si tu disais que la courbe d'équation $y = \sqrt{x^2 - 1}$ est une hyperbole.

Bruno

Je viens de voir le téléfilm "Columbo, "À chacun son heure". On y voit de nombreux abats jours dont le cône de lumière dessine une hyperbole sur le mur . 9 mn après le début un tableau représente une mariée dont le voile dessine clairement une surface réglée  https://i.postimg.cc/hP9ppGYZ/Columbo-a-chacun-son-heure-26-mn-surface-voile-r-gl.jpg Voile au sens mathématiques et courant. Incongrue la branche d'arbre sur laquelle l'oiseau est posé ! L’interprétation  est très différente si on regarde le tableau avec l’oeil mathématique ou l’oeil romantique. La surface réglée du voile engendre un cône dans le premier cas, une branche qui fera naître un nid d’amour dans le second. La queue en eventail de l’oiseau fait écho au voile en eventail de la mariée.  En fait on distingue un tronc d’arbre vertical qui fait une transition avec le voile dans sa partie haute et semble soutenir la tête de la mariée. La partie haute du cône est moins ambiguë.     Le tableau fait penser à la femme à l’éventail de Modigliani.  Un éventail fait penser à une surface réglée dont les génératrices se rejoigent en un point.