Invariant polynômial de noeud

Quelle horreur! Mes espaces ont disparus. Je te l'envois en fichier joint.


[Heureusement LaTeX est là pour sauver ton précédent message AD]

ah donc tu cherches bien a calculer le polynome de Jones (il me semble qu'il existe aussi un polynome d'Alexander masi je ne l'ai pas vu. J'ai juste vu un theoreme d'Alexander mais il était lié aux "tresses" - braid -) !
Calculer le polynome de Jones suppose déjà que ton noeud soit orienté. Ensuite, pour le calculer, il faut sélectionner un croisement, n'importe lequel et ensuite tu déduis un triplet de Skein i.e. tu dois obtenir un noeud ou ton croisement est positif $k_+$, un noeud ou ton croisement est négatif $k_-$(si le noeud que tu as selectionné est positif, il suffit, pour obtenir le noeud à croisement négatif, d'inverser le dessus et le dessous du croisement) et enfin un noeud sans croisement $k_0$ (tu l'obtiens en effacant le croisement puis en rejoignant comme il faut en fonction de l'orientation de chacune des branches).

Une fois que tu as ton triplet de noeuds, tu utilises la relation de Skein :
$$A^4f[k_+](A)-A^{-4}f[k_-](A)=-(A^2-A^{-2})f[k_0](A)$$

où $f[k](A)$ est le polynome de Jones du noeud $k$ en la variable $A$. De là il faut connaitre les valeurs de deux des polynomes. Par construction, on connait forcement $f[k_0]$ puisqu'on calcule les polynomes de Jones en augmentant la complexité des noeuds (donc comme $k_0$ a, par construction, un noeud de moins que $k_+$ et $k_-$ on le connait) et de meme tu dois connaitre $f[k_+]$ ou $f[k_-]$ (selon l'orientation du croisement que tu as selectionné).

Tout ca pour dire que je ne comprends pas trop ce que tu veux faire dans ton TIPE. Pour calculer ce polynome de Jones, ca suppose que tu connaisses deja les polynomes de Jones d'un certain nombre de noeuds dont découle le noeud que tu as construit (après il existe peut-etre des choses mieux mais je ne connais que cette méthode).

D'autre part si tu arrives finalement a calculer ton polynome et que tu trouves que c'est effectivement le meme que le noeud de trefle (ce qui serait normal d'apres ta construction), tu ne pourras pas en conclure qu'il y a R-équivalence entre les noeuds puisqu'on a simplement $k\underset{R}{\sim}k'\Rightarrow f[k]=f[k']$ mais la réciproque est fausse (je dois avoir des contre-exemples dans mon cours si tu veux).

J'espere que ma description de la méthode que je connais est assez claire et que je réponds bien à ta question. Si tu veux t'entrainer, tu peux regarder la page \lien{http://www.greenlees.staff.shef.ac.uk/pma318/pma318index.html} ; il y a des feuilles de TD très simples et le corrigé qui va avec. Par contre il n'y a pas de cours...

Voila si tu as des questions, n'hesite pas !

Hoeg

c'est plutot a moi de presenter mes excuses parce que j'aurais bien du me douter que cetait bien du polynome d'Alexander qu'il s'agissait.
Par contre, qu'a-t-on comme theoreme avec ces polynomes ?
Dans l'implication que tu donnes dans ton raisonnement, le $f[k]$ représente, pour moi, le polynome de Jones (mais peut-etre que le résultat est le meme avec le polynome d'Alexander).
Parce que si tu montres que ton noeud ne peut etre equivalent qu'a 4 noeuds premiers (désolé je connais pas non plus cette notion !), tu ne montres pas qu'il est nécessairement équivalent à l'un des 4, si ?
Donc en trouvant un polynome de ton noeud different de 3 des 4 noeuds premiers tu peux bien conclure qu'il n'y a pas R-équivalence avec ces noeuds mais malgré tout en trouvant le même polynome que pour le noeud de trefle, tu ne peux toujours pas conclure à la R-équivalence. Ou alors si tu as montré que le noeud est nécessairement R-équivalent à l'un des quatre, il ne sert plus à rien de montrer que ton noeud à le meme polynome que le noeud de trefle une fois que tu as écarté les 3 autres.

J'espere ne pas dire trop de betises. Je te joins un document par mail qui pourra peut-etre t'aider.

Hoeg

Merci de ta charité. Je doit bien avouer que j'aurais beaucoup souffert pour expliciter la méthode de calcul de A à Z.