suite

salas
salas
dans Analyse
bonjour tout le monde
<BR>je vous écris car j'ai un probleme sur un exo.
<BR>en fait on a Tn(x)=somme de k=0 à n de : x^(k+1)/(k+1) et je doit montrer que cette suite converge.
<BR>j'ai montrer que c'était une suite croissante (le signe de Tn+1-Tn est facile a trouver car on a une suite télescopique)
<BR>mais je n'arrive pas a majorer la suite.quelq'un pourrais t'il m'aider?!<BR><BR><BR>

Réponses

  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Taylor Lagrange je suppose... Ca te donner la limite en plus.
  • Yama
    Yama
    Bonjour Salas,

    Tu pourrais préciser le niveau de l'exercice s'il te plait.
    Parce que là, à première vue tu cherches le rayon de convergence de

    $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$
  • salas
    salas
    ben en fait je suis en PCSI et ce n'est pas le rayon de convergence que je cherche car je ne l'ai pas encore vu!
    je ne pense pas que la formule de tayor lagrange m'aide beaucoup!
  • Aleg
    Aleg
    bonsoir salas,
    je doute que tu arrive à tes fins car ta suite $T_n(x)$ ne converge certainement pas pour n'importe valeur de $x$ et il conviendrait de préciser les conditions dans lesquelles apparaît ta question.
    Je pense qu'on ne t'a pas posé directement la question : montrer que la suite $(T_n(x)$ converge pour tout réel $x$ !!!!
  • salas
    salas
    exacte!en fait x appartient à [0;1[!mais sinon on me la bien posé comme ca!je n'ai pas d'autre information!
  • Yama
    Yama
    Il me semble que dans ton exercice on te demande d'étudier la conergence d'une série de fonctions. Il te faut donc trouver l'ensemble des
    { \it x} pour lesquels la série converge.

    Par exemple: $T_n(2)$ est grossièrement divergente, alors que $T_n(0)$ est convergente
  • Yama
    Yama
    Désolé j'e n'avais pas vu les deux derniers messages.

    Pense à utiliser une série géométrique et tu vas facilement t'en sortir.
  • Aleg
    Aleg
    OK.
    Dans ce cas,
    utilise le fait que
    $$\frac{x^{k+1}}{k+1}=\int_0^x\,t^k\,dt$$
    et alors
    $$T_n(x)=\int_0^x\,\sum_{k=0}^nt^k\,dt=\int_0^x\,\frac{dt}{1-t}-\int_0^x\,\frac{t^{n+1}}{1-t}dt$$
    puis montre que la deuxième intégrale tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty $ (en encadrant $1-t$ pour $t$ vérifiant $0\leq t\leq x$).

    Tu auras la convergence et, en prime, la limite...
  • superman
    superman
    vu que $x \in [0,1[$ on a $\frac{x^k}{k} \leq x^k$

    donc $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}$ $\leq \sum_{k=1}^{\infty} x^k$
    $= lim_{k\longrightarrow\infty} \frac{x^k-1}{x-1}=\frac{1}{1-x}$

    vu qu'elle est majoré et croissante donc elle converge !
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    "je ne pense pas que la formule de tayor lagrange m'aide beaucoup!"

    Puisque tu as l'air de mieux savoir alors...
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