Exo Central

Madec0
Madec0
dans Algèbre
Bonjour ,

Un petit exo d'algèbre .

Dans Mn(Z) on considère deux matrices A et B telles que :
A ; A+B ;A+2B ;A+3B ;A+4B soient inversibles .

démontrer que qlq soit k dans Z alors A+kB est inversible .

Bon il est visiblement question de congruence , en remarquant que si je prend une matrice M de Mn(Z) et en se plaçant dans Mn ( Z~)
alors (det M)~ =det (M~)
donc si M~est de déterminant non nul alors det M est non nul également .

Ensuite (A+kB)~= A~+ k~B~
Le problème est que je ne parviens pas à montrer que det( A + kB)#0 avec k = 0 ,1,2,3,4 implique det ((A+kB)~)#0

Merci pour une aide .

Madec

Réponses

  • bisam
    bisam
    Ce n'est pas évident pour moi qu'il s'agisse de congruences.... et puis d'abord des congruences modulo QUOI ?
    Ensuite, tu ne précises pas si les matrices sont inversibles dans Mn(Z) ou dans Mn(R)..., ce qui à mon avis est un détail important !!
  • zdadezdae
    zdadezdae
    C'est faux en choisissant A et B toutes deux égales à la matrice identité si tu choisis l'inversibilité dans Mn(R).
  • Madec0
    Madec0
    Bisam ,

    La planche que j'ai sous les yeux ne précise pas si A ,A+B , ... sont inversibles dans Mn(Z) ou dans Mn(R) !

    Par congruence , j'entendais congruence modulo 5 .

    Madec
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Si B est inversible et A=-5B, alors A ; A+B ;A+2B ;A+3B ;A+4B sont inversibles mais A+5B=0 n'est pas inversible.
  • bisam
    bisam
    Visiblement, il y a un défaut.
  • Madec0
    Madec0
    Bonsoir ,

    Merci pour ces contre exemples ,

    Bon en considérant inversibilité dans Mn(Z) alors l'exo prend peut être du sens .

    Madec
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Si inversible dans Mn(Z) signifie determinant =+-1, ce n'est pas gagné d'avance (voir par exemple le cas n=1).
  • dSP0
    dSP0
    Je crois que le bon énoncé est le suivant :

    Dans M_2(Z) on considère deux matrices A et B telles que :
    A ; A+B ;A+2B ;A+3B ;A+4B soient inversibles dans M_2(Z)

    démontrer que A+kB est inversible dans M_2(Z) quel que soit k entier.
  • chris26
    chris26
    Pour RAJ : le cas n=1 est trivial non?
    Pour n=2 : on peut écrire une combinaison linéaire nulle et non triviale des 5 matrices et on en tire une combinaison linéaire nulle de A et de B... et puis on cherche.
  • AlexB
    AlexB
    Pour n=2 : det(A+kB) est un polynome en k de degré au plus 2 et prenant soit trois fois la valeur 1, soit trois fois la valeur -1, il est donc constant.
  • chris26
    chris26
    Bien vu AlexB.
  • Madec0
    Madec0
    Merci AlexB
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Le cas n=1 est trivial? Je me trompe peut-être, mais il me semble que ça ne marche pas.
  • Nicolas2
    Nicolas2
    Pour moi aussi, ca ne marche pas, c'est facile de trouver un contre-exemple (A=5, A=-1).
  • AlexB
    AlexB
    Pour n=1 : on sait que inversible équivaut à egal à +1 ou -1 (inversible dans Z), donc si on suppose A=1 (par exemple), alors soit B=0, soit B=-2 (pour que A+B soit inversible), dans le premier cas A+kB est toujours inversible, dans le second A+2B ne l'est pas. On procède de même si A=-1. Bref, le seul moyen de remplir les conditions A+kB inversible avec 0<=k<=4 est de prendre A=+1 ou -1 et B=0 et la conclusion de l'exercice est bien vraie.
  • chris26
    chris26
    On veut inversible dans Z (sinon rien ne marche!), donc A=1 ou -1 et B=0 nécessairement.
  • AlexB
    AlexB
    Lire 0<=k<=4 dans le message précédent. La démonstration que j'ai donné plus haut est aussi valable pour n=1 en fait.
  • Nicolas2
    Nicolas2
    ok! Je m'incline Alex.
  • AlexB
    AlexB
    Pour clore le pb, quelqu'un a un contre exemple explicite pour n=3 ?
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