exo conique

isadu05 · June 2006

Je cherche un joli exercice sur les coniques qui ne soit pas trop calculatoire, niveau agreg interne, et avec un aspect géométrique marqué...
Qui a une idée?

Bruno · June 2006

Il y a de nombreuses idées, mais quel niveau ? Que dirais-tu d'un exo de faisceaux de coniques : montrer que si un triangle est inscrit dans une hyperbole équilatère, son orthocentre appartient à l'hyperbole. Cela se fait analytiquement ou géométriquement.

Aussi impressionnant et plus court : montrer qu'en tout point d'une hyperbole, le point de contact de la tangente est le milieu du segment découpé par les asymptotes.

J'en ai des tonnes d'autres, mais ils sont plus orientés sur les outils de la géométrie projective :

Premier théorème de Poncelet : D'un point $M$ on mène les tangentes $T$ et $T'$ à une conique $\mathfrak C$, par tout point $A$ de $T$ on mène la seconde tangente à $\mathfrak C$ qui recoupe $T'$ en $A'$, si $F$ est un foyer de $\mathfrak C$, l'angle $\widehat{AFA'}$ est indépendant du point $A$.

La réciproque du théorème de Thalès.

En un point dune conique la tangente et la normale sont les bissectrices des rayons vecteurs...

A ton service pour te donner les idées de démonstrations.

Bruno

léo2 · June 2006

Dans le genre pas trop calculatoire tout ce qui concerne les lieux orthoptiques des coniques...

J2L21 · June 2006

Un point M se déplace sur un cercle C de centre O. Soit F un point fixe. Comment se déplace la médiatrice D de FM ?

(je me suis amusé avec la TI200 : on "voit" que D reste tangente à une ellipse de foyers O et F lorsque F est à l'intérieur de C)

isadu05 · June 2006

Ton premier exo (hyperbole équilatère) me tente, surtout s'il y a plusieurs méthodes de résolution... Peux-tu m'en dire un peu plus ?
Merci beaucoup !

Bruno · June 2006

Pour le premier exercice, on a au moins deux méthodes.

Une méthode analytique :

On choisit un repère orthonormé porté par les asymptotes de façon à ce que l'hyperbole ait pour équation $xy - k = 0$ ; les sommets du triangle ont pour coordonnées $A\left(a,\dfrac k a\right)$ etc. On écrit l'équation de la hauteur issue de $A$ :$$(X - a)(b - c) + \left(Y - \frac k a\right)\left(\frac k b - \frac k c\right) = 0$$ce qui donne puisque $b \neq c$ :$$X - a - \frac k{bc}\left(Y - \frac k a\right) = 0.$$ On recherche l'équation aux abscisses des deux points d'intersection de cette hauteur avec l'hyperbole :$$(X - a) - \frac k{bc}\left(\frac k X - \frac k a\right) = 0$$Comme prévu, la solution $X = a$ apparaît :$$(X - a) - \frac k{bc}\left(\frac k X - \frac k a\right) = (X - a)\left(1 + \frac{k^2}{Xabc}\right)$$les coordonnés du second point d'intersection sont donc :$$X = - \frac{k^2}{abc}, \quad Y = \frac k X = -\frac{abc} k.$$Voici le plus important : les coordonnées de ce point sont des fonctions symétriques des paramètres $a,\ b,\ c$ ; le point obtenu appartient donc aux trois hauteurs, c'est l'orthocentre du triangle $ABC$.

Si tu veux la démonstration projective, je te la donne.

Bruno

isadu05 · June 2006

Très joli, merci Bruno! (bravo pour la rapidité et la clarté!)

De plus les calculs ne sont pas trop longs, ça me plaît bien.

Je veux bien la projective (si je peux la saisir!)

Bruno · June 2006

Tu l'auras voulu :-))

On considère le faisceau linéaire de coniques engendré par l'hyperbole $\mathcal H$ et l'hyperbole impropre dont l'image est constituée des droites $(BC)$ et $(AH)$ où $H$ désigne l'orthocentre du triangle $ABC$. Comme les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires, ce faisceau de coniques est un faisceau d'hyperbole équilatères. Soit alors $D$ le quatrième point du faisceau, les droites $(BD)$ et $(AC)$ constituent une autre conique impropre du faisceau, donc $(BD)$ est la hauteur issue de $B$ du triangle et comme $D$ appartient à $(AH)$, $D$ est l'orthocentre du triangle, autrement dit, $D = H$.

Bruno

isadu05 · June 2006

Merci, mais c'est bien ce que je craignais:

je n'y comprends goutte!!!

(je te crois sur parole, c'est superbe, mais je vais de ce pas chercher un décodeur de géométrie projective...)

Et pourtant c'est tellement plus poétique que ces calculs bêtement analytiques...

cordialement,

Isa.

lionel21 · June 2006

Bonjour,
en essayant de suivre le raisonnement de Bruno, je suis tombe sur :
http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/Panoplie/Trisect.html

Il y a une illustration.

Juste une petite question pour Bruno car je bute sur la fin de la premiere phrase. Quelle est la signification de {\it l'hyperbole impropre dont l'image est constituée des droites $(BC)$ et $(AH)$} ?

Lionel

Bruno · June 2006

Bonjour Lionel.
 
 Entre les deux mon coeur balance... Il y a collisions entre deux conceptions des coniques.
 
 Dans mon cours, j'ai défini une conique comme un point de l'espace projectif <IMG WIDTH="51" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img1.png" ALT="$ P(Q_E)$"> où <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img2.png" ALT="$ E$"> est un espace vectoriel de dimension <IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img3.png" ALT="$ 3$"> et <IMG WIDTH="26" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img4.png" ALT="$ Q_E$"> l'espace vectoriel des formes quadratiques définies sur <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img2.png" ALT="$ E$">. Cet espace est de dimension <IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img5.png" ALT="$ 6$"> et l'ensemble des coniques du plan est un espace projectif de dimension <IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img6.png" ALT="$ 5$"> (par <IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img6.png" ALT="$ 5$"> points...).
 
 L'image d'une conique <IMG WIDTH="13" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img7.png" ALT="$ \mathfrak C$"> c'est l'ensemble des P(v) ou <IMG WIDTH="43" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img8.png" ALT="$ \vec v \in E$"> et <IMG WIDTH="11" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img9.png" ALT="$ \vec v$"> est un vecteur isotrope pour toute forme quadratique <IMG WIDTH="45" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/15/90533/cv/img10.png" ALT="$ Q \in \mathfrak C$">. C'est tout simplement un ensemble de points du plan projectif, éventuellement vide.
 
 D'où le pataques de mon texte ; je retombe assez souvent dans le schéma de mon cours dès qu'on parle de conique impropre.
 
 Bruno

lionel21 · June 2006

Je suis de retour, le match etant fini.
Merci Bruno pour cette explication.

Lionel

Bruno · June 2006

C'était qui contre qui ? Les bleux ont-ils perdu ?

Bruno

lionel21 · June 2006

Suède - Paraguay. Le Paraguay est éliminé.
Les francais font pitié.

Lionel

boby3 · June 2006

salut,

J'ai une petite question sur les coniques, j'espere ne pas trop être hors-post...:

Doit-on considerer que le cercle est une conique ?
En effet, je suis face a un cruel dilemne:
Historiquement, les coniques ont étés introduites par Apollonius dans son 'traité sur les sections de cônes'. Dans ce cas, la section d'un cône par un plan pouvant donner un cercle, le cercle est alors une conique....

Mais je trouve aussi dans certains livres que les coniques sont définies par foyer/directrice, ce qui n'est pas le cas du cercle... ou alors on considere que la directrice est a l'infini ?

je ne sais pas quoi choisir...

lionel21 · June 2006

La reponse est oui en projectif. Ton excentricite est nul et ta directrice est à l'infini. Cela dit, c'est pour ca que le cercle est traité a part.
De toute facon, le cercle verifie l'equation de l'ellipse avec $a=b$.

J'ai une autre reponse que le serveur me refuse, j'envoie celle-ci et je continue a me battre avec le server.

Lionel

boby3 · June 2006

merci lionel21 pour ta reponse....
ca confirme mon avis mais pas celui de mon prof....

Bruno · June 2006

Bonjour boby.

Un cercle est une conique à centre particulière puisque son équation homogène est un polynôme du second degré.

Dans le plan affine, le cercle n'est pas caractérisable par foyer et directrice pour une raison très simple : son excentricité $e = \dfrac c a$ est nulle. Effectivement, si l'on passe au complété projectif du complexifié du plan affine, le centre du cercle est l'unique foyer de celui-ci (alors que toute conique à centre possède quatre foyers, deux réels et deux complexes conjugués) et la directrice est la droite de l'infini du plan.

En résumé, dans le plan affine, les cercles sont des coniques propres du genre ellipse qui ne sont pas caractérisables par la méthode du foyer et de la directrice.

Enfin, une petite remarque, le "Traité des sections coniques" d'Apolonius est la référence sur les connaissances de l'école d'Alexandrie sur les coniques, mais celles-ci ont été introduites par Ménechme, élève de Platon et, selon la tradition afin de résoudre le problème de la duplication du cube.

Bruno

PS. Je viens de prendre connaissance de l'achange entre Lionel et toi, je serais curieux de connaître l'avis de ton prof.

boby3 · June 2006

Salut bruno,

D'aprés mon prof (pourtant un excellent prof de la vieille école), un cercle n'est pas une conique car non definnissable par foyer directrice. Il me répond toujours par le meme argument: sinon une droite serait aussi une conique !

merci

lionel21 · June 2006

Une droite non, mais une droite double ou l'union de deux droites paralleles sont aussi des coniques (dont l'interet n'est pas forcement grandissime).

Bruno · June 2006

Bien sûr.

Tout dépend effectivement des points de vue, mais si l'on part de l'idée des sections coniques qui est assez simple, les paires de droites et les droites doubles sont également des coniques appelées coniques impropres.

Historiquement, je veux dire avant Apollonius, les grecs définissaient les coniques par un équivalent géométrique de leur équation : $y^2 = px$ pour une parabole soit le carré construit sur... est égal au (a même aire que le) rectangle... , $y^2 = px + x^2$ pour l'hyperbole (ce qui signifie rallongée) et $y^2 = px - x^2$ pour l'ellipse ce qui signifie raccourcie.

Ceci dit, le professeur ayant toujours raison jusqu'à la fin de l'année, je ne te conseille pas d'entrer en conflit avec lui pour si peu.

Bruno

boby3 · June 2006

Je suis d'accord avec toi lionel, mais je n'ai jamais reussi a le convaincre....

Pourtant c'est certainement grace a lui (et a son cours) que je suis admissible cette année au capes (je n'ai presque rien fait a la premiere epreuve mais a la deuxieme par contre je pense avoir fait assez fort....)

S'il lit ce post, et se reconnait, je l'en remercie encore

Bruno · June 2006

De la part de lionel :

Isadu05, si tu veux une application pratique, tu peux utiliser des courbes de Bézier rationnelles de degré $2$.

D'un point de vu affine, 3 points $P_0$, $P_1$ et $P_2$ et 4 nombres te permettent de modéliser une ellipse. La droite $\left (P_0 P_1 \right )$ est la tangente à l'ellipse en $P_0$. La droite $\left (P_2 P_1 \right )$ est la tangente à l'ellipse en $P_2$.

Pour les details, il y a le bouquin de Demengel et Pouget chez ellipse dont le titre est {\it Mathématiques des courbes et des surfaces. Modèles de Bézier, des B-Splines et des N U R B S}. Tu peux obtenir les valeurs des poids dans ma thèse.

Du point de vu projectif, tu peux modéliser un demi-cercle a l'aide de 2 points pondérés et un vecteur. Des details se trouvent dans les bouquins de Fiorot et Jeannin chez Masson :

" Courbes splines rationnelles : applications à la CAO, RMA 12"
" COURBES ET SURFACES RATIONNELLES : APPLICATIONS A LA CAO, RMA 24".

Il y a aussi la modélisation de parabole à l'aide de courbes de Bézier polynomiales de degré $2$ et l'utilisation de l'algorithme de De Casteljau. Par contre, pour l'agreg interne, c'est peut-etre leger, je laisse l'avis aux spécialistes.

Lionel

lionel21 · June 2006

Merci Bruno.
Tu n'as pas eu de probleme ?
Je ne sais pas ce qu'il y a eu parce que ca ne marche pas avec ce message alors que j'ai pu envoyer le message precedent sur le cercle. Cela dit, je ne suis pas chez moi et je tourne acturellement sous windows, coincidence troublante !!!

Lionel

boby3 · June 2006

Bon pour revenir au sujet, un petit exo pour isadu05 :

Montrer que les milieux des secantes de direction donnée a une parabole sont alignés. (sur une droite particulière)

C'est une propriété géometrique interressante, et pour le résoudre tu peux utiliser l'analyse.
Je trouve ca toujours interressant de mêler les deux.

ted · June 2006

boby : notre prof m'a justement demandé de démontrer ça ce matin à l'oral blanc, par 2 méthodes d'analyse.

boby3 · June 2006

Et tu ne trouves pas?

Une indicationpour une des méthodes: Théorème des accroissements finis

ted · June 2006

j'ai trouvé aprés une petite période d'hésitation

J2L21 · June 2006

Bonsoir à tous et en particulier à Bruno : tu parles de ton cours sur les coniques, se trouve-t-il sur ce site ?

Bruno · June 2006

Bonjour J2L2.

Il devrait s'y trouver un de ces jours, mais je peux t'envoyer une version provisoire.

Bruno

rémi · June 2006

Bruno j'aimerais bien disposer de ce cours si tu le veux bien car c'est quelque chose sur laquelle je fais un blocage perpétuel alors un point de vue supplémentaire ne serait pas de trop.
J'en profite pour te remercier pour le cours sur les angles que tu avais transmis et qui m'avait particulièrement aidé.

J2L23 · June 2006

Bonjour Bruno, ce serait sympa de ta part, surtout si ce cours de Géoproj est écrit de manière aussi vivace et passionnante que tu t'exprimes sur ce forum !

exo conique

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Bonjour!

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