Fonctions Holomorphes

Averse0
Averse0
dans Analyse
Bonjour, je bloque sur le calcul de l'intégrale $\int_{0}^{+\infty}\cos(2ax)\exp(-x^{2}/2)dx$ en intégrant la fonction entière $\exp(2iaz-z^{2})$ sur le rectangle de longueur le segment $[-R,R]$ et de largeur $[R,R+ia]$ avec $a>0$.(Je tourne dans le sens $-R$-->$R$)

En fait pour le morceau d'intégrale sur le toit du rectangle $[R+ia,-R+ia]$ on doit retomber sur une gaussienne. (Les deux morceaux latéraux tendent vers $0$ quand $R$ tend vers $+\infty$).

Mais je tombe sur : $$-\int_{-R}^{R}\exp(2ia(x+ia)-(x+ia)^{2}/2)dx$$ Qui ne se simplifie pas je pense...

Merci d'avance. Averse

Réponses

  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Bonjour,

    ton calcul se simplifie :

    Ton intégrale est égale à, sauf erreur de calcul :

    $e^{-\frac{3a^2}{2}}\int_{-R}^{R}e^{iax-\frac{x^2}{2}}dx$

    Ceci est bel et bien une Gaussienne :)
  • Averse0
    Averse0
    Je reconnais pas de gaussienne. J'ai essayé de transformer en reconnaissant un carré : $$e^{-\frac{3}{2}a}\int_{-R}^{R}\exp(-(x-ia)^2)\2dx$$
  • Averse0
    Averse0
    Il manque un $e^{-a^2/2}$ en facteur
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Euh...apres tu fais tendre R vers +\infty et tu obtient :

    $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{iax-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2 \pi}e^{\frac{-a^2}{2}}$$
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Euh...apres tu fais tendre R vers +\infty et tu obtient :

    $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{iax-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2 \pi}e^{\frac{-a^2}{2}}$$
  • Averse0
    Averse0
    Je ne vois pas comment tu t'y prends pour calculer....(N'as-tu pas oublié des facteurs exponentiels ?)
  • Nicolas2
    Nicolas2
    Si, j'ai bonne memoire l'intégrale que tu consideres se calcule en regardant ton intégrale comme une fonction de a.
    Tu dérives cette fonction, tu peux alors en déduires que la fonction vérifie une equa diff très simple à résoudre.... et c'est presque gagner.

    Nico
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Non, calcul simple :

    $$e^{2ia(x+ia)-\frac{(x+ia)^2}{2}}=e^{2iax-2a^2-\frac{x^2}{2}-iax+\frac{a^2}{2}}=e^{-\frac{3a^2}{2}}e^{iax-\frac{x^2}{2}}$$

    Voila mister, en espérant t'avoir aider :)
  • Averse0
    Averse0
    Non pour ton premier calcul nouveau_ici c'est bon mais c'est pour la valeur de l'intégrale...
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Ah...c'est une formule tres connue, qui s'apprend en meme temps que la transformée de Fourier, peut etre tu ne l'as pas vu :

    $$ \forall t>0 \ , \
    \int_{\R^n}e^{i-t\|x\|^2}dx={(\frac{\pi}{t})}^{\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^2}{4t}}$$

    Ceci est la formule générale, apres pour ton cas précis tu prends $n=1$, $x=a$, $t=\frac{1}{2}$
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    $y=a$ pardon.
  • egoroff
    egoroff
    y=a plutôt non ?
  • Nicolas2
    Nicolas2
    Averse, je viens de t'expliquer que pour calculer ton intégrale après avoir développer le terme à l'intérieur de l'exponentiel, tu poses par exemple:
    $f(a)=\int_{-R}^{R} exp(iax-x^2/2)$
    En dérivant par rapport à $a$, tu trouves que
    $f'(a)=iaf(a)$.
    Donc $f(a)= \alpha exp(ia^2/2)$
    Reste à trouver $\alpha$, ce qui est facil.

    Nico
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Je ne suis pas convaincu du $f^{'}(a)=iaf(a)$

    Je trouve $$f^{'}(a)=\int_{-R}^{R}ix\exp(aix-\frac{x^2}{2})dx$$
  • Averse0
    Averse0
    En fait on peut calculer directement l'intégrale de départ en notant $$F(a)=\int\cos(2ax)\exp(-x^2/2)dx$$ Puis en dérivant $$F'(a)=-2a\int x\sin(2ax)\exp(-x^2/2)dx$$ Et on intègre par partie on obtient $F'(a)=-2aF(a)$ ce qui nous donne $F(a)=\sqrt(2\pi)e^{-x^2/2}$ puisque $F(0)=\sqrt(2\pi)$.

    Mais si on intègre sur le rectangle, le morceau sur le toit du rectangle nous amène à : $$-e^{-\frac{3}{2}a^2}\int_{-R}^{R}\exp(iax-x^2/2)dx$$ qui se calcule par la formule que nous donne nouveau_ici. Mais on pourrait aussi calculer cette dernière par une équa-diff du même type que ci-dessus. La partie imaginaire étant d'intégrale nulle. Mais ne peut-on pas la calculer directement ?
  • Nicolas2
    Nicolas2
    oui, nouveau_ici, tu as raison, mais dans ce cas, on peut déterminer $f'(a)$ en faisant une IPP.
    Ca m'apprendra à poster des messages sans vérifier mes calculs.
  • Averse0
    Averse0
    Je me suis trompé dans l'expression de $F'$ il n'y a pas de $a$ en facteur devant l'intégrale. Merci
  • Nicolas2
    Nicolas2
    La formule de nouveau_ici peut se démontrer justement en procédant comme nous venons de le faire, via des calculs plus compliqués.
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