Une limite sup/inf

Salut Averse,


Il faut revenir à la définition de la $\lim \sup$ et de la $\lim \inf$ d'une suite $A_n$ de parties d'un ensemble $E$. L'ensemble $\lim \sup A_n$ est l'ensemble des $x \in E$ qui sont dans une infinité de $A_n$, et l'ensemble $\lim \inf A_n$ est l'ensemble des $x \in E$ qui sont dans tous les $A_n$ à partir d'un certain rang.


Maintenant tu vois que tous tes $A_n=[0,|\cos n|]$ sont inclus dans $E=[0,1[$. Si $x$ est un réel de cet intervalle, dans quels $A_n$ est-il ?

La densité des $\cos n$ dans $[-1,1]$ est un grand classique, dont découle la densité des $|\cos n|$ dans $[0,1]$, mais il faut travailler un peu. Tout part d'un autre grand classique : un sous-groupe de $\R$ est soit discret (et monogène) soit dense. Le sous-groupe $\Z + 2 \pi Z$ n'est pas monogène puisque $2 \pi$ est irrationnel donc il est dense dans $\R$. Si $y$ est dans $[-1,1]$ on peut écrire $y=\cos x$ avec $x \in \R$. Il existe une suite $x_k$ de $\Z + 2 \pi \Z$ telle que $\lim x_k = x$. Autrement dit il existe deux suites d'entiers relatifs $n_k$ et $r_k$ telles que $\lim(n_k + 2 \pi r_k) = x$. Comme la fonction $\cos$ est continue et $2 \pi$-périodique on en déduit que $\lim \cos n_k = y$.

Ici on a montré que $\cos \Z$ est dense dans $[-1,1]$ ; c'est encore vrai si on considère seulement $\cos \N$, simplement parce que $\N + 2 \pi \Z$ est encore dense dans $\R$, je te laisse le soin de le démontrer.


Quant à la $\lim \sup$ d'une suite $(a_n)$, on considère d'abord $S_n=\sup_{k \geq n} a_n$ ; cette suite est décroissante donc elle converge dans $\overline{\R}$ ; on note $\lim \sup a_n$ sa limite. La $\lim \sup$ d'une suite est la plus grande de ses valeurs d'achérence (dans $\overline{\R}$ il y en a toujours car il est compact).

C'est une façon de voir les choses... Tu peux aussi dire que si $a_{\varphi(n)}$ est une suite extraite qui converge, en prenant la définition de la convergence avec $\varepsilon=\lim \sup a_n - x$ tu obtiens ton infinité de $a_{\varphi(n)}$ pour $n \geq N$ qui sont supérieurs à $x$, et sans passer par l'absurde.