th du point fixe

Bonjour,

je travaille actuellement sur la demonstartion du theoreme du point fixe dans R, dont le point de depart m'est assez obscur.
Soit f continue sur [a,b] derivable sur ]a,b[ telle que pour x dans ]a,b[ , |f'(x)|<=k où k est entre 0 et 1 exclus, alors il existe un unique point fixe pour f dans ]a,b[.

la demonstration demarre en disant directement qu l'on a f(a)>=a et f(b)<=b , je ne vois pas pourquoi.

merci de m'aider

Réponses

  • Si l'image est dans ]a, b[. Il n'y a pas de mystère que f(a) >= a (resp. f(b) <= b)
  • f continue sur un segment donc f est bornee et atteint ses bornes
    f([a,b])=[m,M] ou m=inff M=supf
  • je crois parce que :f est de [a,b] vers [a,b]
  • f continue sur un segment donc f est bornee et atteint ses bornes
    f([a,b])=[m,M] ou m=inff M=supf
  • Bonjour Plouf,

    N'y aurait-il pas le théorème des valeurs intérmédiaires au milieu ?
  • bonjour plouf,
    il est clair qu'on doit ajouter à ton énoncé la {\bf stabilité} de l'intervalle $[a;b]$ par $f$, ie le fait que $f([a;b])\subset [a;b]$ (auquel cas évidemment $f(a)$ et $f(b)$ sont dans $[a;b]$ d'où découlent les inégalités qui te posaient problème).
    sinon, par exemple, $f$ définie sur $[1;2]$ par $f(x)=-1+\sqrt{x}$ vérifie bien tes hypothèses initiales et n'admet aucun point fixe...
  • Bonjour Aleg,

    Tout à fait d'accord avec toi, mais plouf écrit :"la demonstration demarre en disant directement que l'on a f(a)>=a et f(b)<=b", ce qui suggère que l'on ait affaire à une conséquence, et non à une hypothèse.
  • Num3ers, l'obtention d'un point ne peut être obtenu que si l'image de la fonction est dans son ensemble de définition. Il s'agit donc bel et bien d'une hypothèse.

    Quitte à me répeter cela ne fait pas de mystère (dès lors où on décortique les hypothèses, mon propos n'est pas de dévaloriser la question).
  • Rebonjour,

    Il ne s'agit pas d'une hypothèse. Il suffit de remarquer que $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$ et prenant ses valeurs dans $[a,b]$. Donc, $f([a;b])\subset [a;b]$ forcément, ce qui n'est possible que dans le cas décrit.
  • effectivement, il me manquait la stabilité de l'intervalle dans mes hypotheses, et alors tout s'eclaircit.

    merci pour votre aide.
  • Si $f([a;b])$ inclus dans $[a;b]$ alors la démonstration est facile : f est une contractante, va de $[a;b]$ dans $[a;b]$ qui est un espace métrique complet donc d'apres le th de point fixe de Banach, elle admet un unique point fixe dans $[a;b]$
  • Pour finir,

    Puisque $f$ est continue sur $[a,b]$, et prend ses valeurs dans $[a,b]$, on a alors $f([a,b])\subset [a,b]$, et comme $f([a,b])\subset [a,b]\Rightarrow f(a) \geq a\text{ et }f(b) \leq b$, alors $f(a) \geq a\text{ et }f(b) \leq b$.
  • Bon, apparemment c'est une farce. Désolé, j'avais pas pigé...
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