un exo d'analyse
Bonjour,
<BR>cet exercice (ci dessous) me pose problème, pouvez-vous m'aider ?
<BR>d'avance merci.
<BR>
<BR>Soit <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="112" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img1.png" ALT="$ \mathcal{C}=\{ f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$"></SPAN>, continues et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="21" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img2.png" ALT="$ 2\pi$"></SPAN> périodiques } muni de la norme <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img3.png" ALT="$ \vert\vert.\vert\vert _\infty$"></SPAN>. Pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="41" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img4.png" ALT="$ f \in \mathcal{C}$"></SPAN> on note : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="123" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img5.png" ALT="$\displaystyle \mu(f)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f $"></DIV><P></P> (moyenne de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img6.png" ALT="$ f$"></SPAN>). Pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="193" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img7.png" ALT="$ n \in \mathbb{N}^*,\ f \in \mathcal{C}, \ \alpha \in R\setminus \pi Q $"></SPAN>, on note : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="156" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img8.png" ALT="$\displaystyle J(n,f)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(k\alpha)
\newline $"></DIV><P></P>a) Montrer que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="52" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img9.png" ALT="$ J(n,f)$"></SPAN> converge vers <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="35" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img10.png" ALT="$ \mu(f)$"></SPAN>
<BR>on note <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="142" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img11.png" ALT="$ I(n,f)= \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{ f(k\alpha)}{k}$"></SPAN>
<BR>b) Montrer qu'en l'infini <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="50" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img12.png" ALT="$ I(n,f)$"></SPAN> équivaut à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="77" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img13.png" ALT="$ \log(n) \mu(f)$"></SPAN> et en déduire un équivalent de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="85" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img14.png" ALT="$ \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\vert\sin(k)\vert}{ k}$"></SPAN>.<BR>
<BR>cet exercice (ci dessous) me pose problème, pouvez-vous m'aider ?
<BR>d'avance merci.
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<BR>Soit <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="112" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img1.png" ALT="$ \mathcal{C}=\{ f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$"></SPAN>, continues et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="21" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img2.png" ALT="$ 2\pi$"></SPAN> périodiques } muni de la norme <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img3.png" ALT="$ \vert\vert.\vert\vert _\infty$"></SPAN>. Pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="41" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img4.png" ALT="$ f \in \mathcal{C}$"></SPAN> on note : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="123" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img5.png" ALT="$\displaystyle \mu(f)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f $"></DIV><P></P> (moyenne de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img6.png" ALT="$ f$"></SPAN>). Pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="193" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img7.png" ALT="$ n \in \mathbb{N}^*,\ f \in \mathcal{C}, \ \alpha \in R\setminus \pi Q $"></SPAN>, on note : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="156" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img8.png" ALT="$\displaystyle J(n,f)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(k\alpha)
\newline $"></DIV><P></P>a) Montrer que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="52" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img9.png" ALT="$ J(n,f)$"></SPAN> converge vers <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="35" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img10.png" ALT="$ \mu(f)$"></SPAN>
<BR>on note <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="142" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img11.png" ALT="$ I(n,f)= \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{ f(k\alpha)}{k}$"></SPAN>
<BR>b) Montrer qu'en l'infini <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="50" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img12.png" ALT="$ I(n,f)$"></SPAN> équivaut à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="77" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img13.png" ALT="$ \log(n) \mu(f)$"></SPAN> et en déduire un équivalent de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="85" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/12/90244/cv/img14.png" ALT="$ \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\vert\sin(k)\vert}{ k}$"></SPAN>.<BR>
Réponses
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Une petite indication : commence par montrer les propriétés a) et b) lorsque $f(t)=e^{ipt}$ avec $p\in \Z$... Après on doit pouvoir conclure par densité.
Laotseu. -
D'accord, mais de quelle densité parles tu ?
Merci. -
Bonjour,
cet exercice (ci dessous) me pose problème, pouvez-vous m'aider ?
d'avance merci.
Soit $\mathcal{C}=\{ f: \R \rightarrow \C$, continues et $2\pi$ périodiques \} muni de la norme $||.||_\infty$. Pour $f \in \mathcal{C}$ on note : $$ \mu(f)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f $$ (moyenne de $f$). Pour $n \in \N^*,\ f \in \mathcal{C}, \ \alpha \in R\setminus \pi Q $, on note : $$ J(n,f)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(k\alpha)
$$ a) Montrer que $J(n,f)$ converge vers $\mu(f)$
on note $I(n,f)= \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{ f(k\alpha)}{k}$
b) Montrer qu'en l'infini $I(n,f)$ équivaut à $\log(n) \mu(f)$ et en déduire un équivalent de $\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{|\sin(k)|}{ k}$. -
Laotseu veut surement parler d'un théorème de weierstrass, qui dit que les fonctions continues $2 \pi$ périodiques peuvent etre approchées uniformément par les polynomes trigonométriques.
-
a) Tu reconnais une somme de Riemann pour une subdivision bien choisie (utilise la $2\pi$-périodicité)
b) $\displaystyle{\frac{f(k \alpha)}{k} = J(k,f)-\frac{(k-1)}{k}J(k-1,f)}$ soit en sommant
$\displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac{f(k\alpha)}{k} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{J(k,f)}{k+1} + J(n,f)}$ et de là il ne te reste qu'à découper des $\varepsilon$.
Ciao -
Merci.
-
Guimauve, je ne sais pas où tu vois une somme de Riemann dans le a). L'idée de la transformation d'Abel est par contre très efficace dans le b).
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Pour le a) il suffit d'utiliser le thm de Heine qui entraîne que $f$ étant continue, sa restriction au segment $[0,2\pi]$ est uniformément continue.
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Laotseu,
Pour tout k, $f(k \alpha)=f(k\alpha \mod 2 \pi)$. Donc en posant $E_n=\{ k\alpha \mod 2 \pi \: | \: k=1...n \}=\{ x_1, x_2, ..., x_n \}$ avec $x_1 -
A mon humble avis, ce n'est pas tout à fait une somme de Riemann car {x1,x2 ...xn} n'est pas une subdivision de [0,2pi]. (x1 n'a pas de raison d'être égal à 0).
Il faut donc faire la démonstartion de la convergence "à la main" par densité.
sauf erreurs. -
Guimauve, l'argument que tu donnes sur le sup des $x_{i+1}-x_i$ aurait été pertinent s'il s'était vraiment agi d'une somme de Riemann, i.e :
$$\sum_{i=1}^nf(x_i)(x_{i+1}-x_i)$$
Mais les écarts $(x_{i+1}-x_i)$ ne sont pas réguliers. Ils le sont asymptotiquement en vertu de l'équirépartition des parties fractionnaires des $n\alpha$, mais ce résultat est hors de propos ici.
Cordialement,
Laotseu. -
Ah zut !
Merci pour la correction. -
Mmm.. je ne suis pas d'accord avec toi Laotseu. Il me semble bien que vérifier que le pas de la subdivision tend vers 0 suffit à assurer la convergence des sommes vers l'intégrale et que c'est un classique (du "cours"). On n'a pas besoin non plus que les bornes de l'intervalle figurent effectivement dans la subdivision du moment qu'elles sont comptées dans la majoration du pas. Après, çe s'appelle peut-être sommes de Darboux, ou de Riemann-Darboux, ou de Riemann pointées ou je ne sais quoi au lieu de sommes de Riemann mais c'est connu (enfin je crois). La convergence est un peu plus difficile à démontrer mais ces sommes sont beaucoup plus flexibles.
En espèrant ne pas avoir dit trop de conneries comme dirait l'ami Toto. -
Bonjour,
Egoroff, le sage Laotseu a raison :
Le $\frac{1}{n}$ ne correspond pas aux $x_{i+1} - x_i$.
Glop -
Aïe aïe aïe.. je n'ai plus qu'à me faire couper la tête ;-)
Le prochaine fois je lirai plus attentivement les post précédents avant de poster des billevesées. Merci Glop de m'avoir remis dans le droit chemin.
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Bonjour!
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