transformé de Fourier discrète
Réponses
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personne ne sait?
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pour un polynome $P=\sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i$, et $\zeta$ une racine primitive nieme de l'unite,
c'est $Q=\sum_{j=0}^{n-1} b_j x^j$ ou $b_j=\sum_{i=0}^{n-1} a_i \zeta^{ij}$
la transformee inverse est donnee par $a_i=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1} b_j \zeta^{-ij}$
J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion. -
La TFD est en effet utilisée pour obtenir un spectre à partir d'un échantillon.
On s'en sert comme de la TF, si ce n'est que les seuls appareils de labos qui réalisent des TF sont composés d'une boite à chaussure percée d'un trou.
Je plaisante à moitié. Pour mesurer un spectre, soit on fait varier la fréquence de résonnance d'un filtre passe bande à bande étroite, et on obtient le spectre en supposant que le signal n'a pas varié pendant l'analyse, ou alors on fait le calcul de la transformée de Fourier du signal, et c'est toujours une TFD, car à part en optique, je ne connais pas de montage physique qui réalise la TF d'un signal.
Bien sur, il faut se souvenir que "à signal discret, spectre périodique" et donc la TFD n'est calculée que sur une période (et on retrouve Shannon et Nyqvist qui passaient par là).
De plus : "à signal périodique, spectre discret" et donc on ne perd pas grand chose à utiliser la TFD, de toutes façons qui voudrait faire de l'analyse harmonique sur des signaux transitoires ? (Oui, bon, c'est vrai des acousticiens, et des ingénieurs télécoms, etc. etc.)
Amicalement
Volny -
merci de vos reponses
en fait je parlais de cette transformée :
$S(k) = \sum_{n=0}^{N-1} s(n).e^{-2 i \pi k \frac{n}{N}}$
et aussi j'aimerais savoir comme la fonction est a coef complexe alors comment peut elle representer le spectre d'un son par exemple a partir d'un echantillonage
par exemple est il possible sous maple par exemple de taper cette fonction pour avoir le spectre d'un echantillon de 1024 points d'une fonction sinusoidale quelconque representant un son? -
boby,
pour maple, je ne sais pas, mais, pour matlab, c'est certainement le cas.
d'autre part, il existe une foule de logiciels libres qui calculent des TF discrètes (quasi-exclusivement par le célèbre algorithme de Cooley-Tuckey écrit en 1965), et donc aussi des TF inverses : une recherche sur le net avec FFT (pour "Fast Fourier Transform) ou, en français avec TFR (pour "Transformée de Fourier Rapide") devrait te donner beaucoup de documentation. -
Un très bon bouqin sur le sujet "L'algèbre discrète de la transformée de Fourier" de Gabriel Peyré
-
Ta question sur le résultat réel d'un calcul avec des coefficients complexe est à la base des algorithmes de TFR.
En effet lorsque le signal est réel, des tas de coefficients sont complexes conjugés et leur calcul est inutile (ils apellent ça "pruning", c'est à dire tailler l'arbre des multiplications) une recherche avec les mots "radix 2" ou "radix 4" devrait donner des résultas avec en plus de jolis dessins de papillons (c'st ainsi qu'ils apellent les motifs représentant les opérations successies à réaliser).
En particulier toutes les contributions à la partie imaginaire du spectre doivent être nulle, alors pourquoi les calculer sur un signal réel ?
Une autre solution (lorsque la machine calculer la TFD est fournie) consiste à combiner deux signaux de façon que le spectre de l'un soit réel et l'autre imaginaire pur. Ainsi tu obtiens deux spectres en un seul calcul.
Il est très instructif de faire le calcul à la main avec 16 ou 32 échantillons, pour se rendre compte de ce qui se passe. (Si ça t'interesse, bien sur, sinon il y a plein de gens qui vivent et dorment très bien sans savoir ce que fait vraiment leur analyseur de spectre)
Amicalement
Volny -
Ta question sur le résultat réel d'un calcul avec des coefficients complexe est à la base des algorithmes de TFR.
En effet lorsque le signal est réel, des tas de coefficients sont complexes conjugés et leur calcul est inutile (ils apellent ça "pruning", c'est à dire tailler l'arbre des multiplications) une recherche avec les mots "radix 2" ou "radix 4" devrait donner des résultas avec en plus de jolis dessins de papillons (c'st ainsi qu'ils apellent les motifs représentant les opérations successies à réaliser).
En particulier toutes les contributions à la partie imaginaire du spectre doivent être nulle, alors pourquoi les calculer sur un signal réel ?
Une autre solution (lorsque la machine calculer la TFD est fournie) consiste à combiner deux signaux de façon que le spectre de l'un soit réel et l'autre imaginaire pur. Ainsi tu obtiens deux spectres en un seul calcul.
Il est très instructif de faire le calcul à la main avec 16 ou 32 échantillons, pour se rendre compte de ce qui se passe. (Si ça t'interesse, bien sur, sinon il y a plein de gens qui vivent et dorment très bien sans savoir ce que fait vraiment leur analyseur de spectre)
Amicalement
Volny -
AAArgh !!
complexes conjug$\underline{{\bf {\it u}}}$és.
Voir aussi les "ieee proceedings" de ICASSP (International Conference on Acoustics Speech and Signal Processing) des années 60 et 70, si tu as accès à une bonne bibliothèque.
Amicalement
Volny -
merci de tes precision mais elle me parraissent un peut compliquées
une derniere question: si j'applique la transformé de fourier discrete a un simple sinus de frequence 400 donc sin(800*Pi*x) je devrai obtenir en traçant la valeur absolue de la TFD une courbe plate avec un pic a 400 ,c'est bien ca car sur maple par exemple il me trace des raies tous les 100hz
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Bonjour!
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