Montrer qu'une fonction est C°°

Nouveau_ici · June 2006

Bonjour, un truc bete mais j'ai bcp de mal a montrer qu'une fonction est $C^{\infty}$ si on ne peut pas la décomposer.

exemple, montrer que la fonction $$f(t)=\int_0^{2\pi}cos(x) e^{tcos(x)}dx$$ est de classe $C^{\infty}$

oumpapah0 · June 2006

bonjour

par ex:
appeler y_n l'integrale ou le cosx figure avec l'exposant n
et montrer à la main que y_(n+1) est la dérivée de y_n
(démo niveau L1 ou sup)

Oump.

kéké0 · June 2006

tu peux dériver sous l'intégrale , t'es sur un compact et ta fonction sous l'intégrale est Cinfini, donc elle est Ck pour tout k

Nouveau_ici · June 2006

Oui là l'exemple est mal choisi, mais pour une intégrale généralisée, par exemple, pour montrer que f est $C^{\infty}$ sur $]0, \infty[$ : $$f(t)=\int_0^{\infty}e^{-tx^2}dx$$

L'idée est de montrer que pour tout a>0, f est $C^{\infty}$ sur $]a, +\infty[$

La fonction sous l'intégrale est clairement $C^{\infty}$ sur $]a,+\infty[$, et pour tout k $\in \N$, nous pouvons dominer la dérivée k-ième de la fonction sous l'intégrale par une fonction ne dépendant pas de t$\in ]a,+\infty[$ intégrable sur $]0,+\infty[$. Ainsi pour tout k f est $C^{k}$ donc f est $C^{\infty}$ sur $]a, \infty[$

Vrai pour tout a>0, donc f est $C^{\infty}$ sur $]0, +\infty[$

C'est peut etre simple mais c'est le genre de raisonnement sur lesquels je but.

Merci d'avance

Lebesgue0 · June 2006

Bonjour,

Je suggère de restreindre $t$ à un compact de $]0,{\infty}[$, puis de dominer la fonction indépendement de $t$ dans ce compact.

Lebesgue

Nouveau_ici · June 2006

C'est un peu ce que j'ai fait, pour tout t \in ]a, + \infty[, $e^{-tx^2}$ \leq $e^{-ax^2}$

Alain Debreil · June 2006

C'est un peu ce que j'ai fait, pour tout $t \in ]a, + \infty[,\ e^{-tx^2} \leq e^{-ax^2}$

Philippe Malot · June 2006

Oui mais comme finalement montrer qu'on est $C^\infty$ sur un machin, c'est le montrer localement partout. Tu t'es limité à $]a,+\infty[$ mais tu aurais pu te limiter à un sous-intervalle $[a,b]$ quelconque de $]0,+\infty[$.
Il faut toujours y penser quand on cherche à montrer la dérivabilité, on a toujours plus de chance d'arriver à utiliser un critère de domination sur intervalle borné !

Montrer qu'une fonction est C°°

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