Hahn Banach

Regarde dans le Brézis me semble qu'il s'appelle il est très bien même si c'est en plus général que euclidien

Quelle est la preuve du Tauvel?
Il utilise les deux points les plus proches et il considère l'hyperplan perpendiculaire au segment qu'ils tracent?

ou bien dans ce brillant ouvrage :
"Topologie et analyse fonctionnelle" de C.Wagschal , chez Hermann.

Comme $B = \cup_{t>0}{tA}$ est une réunion d'ouvert. C'est un ouvert.

La convexité est montré par la formule qu'il donne juste au dessus (gràce à la convexité de $A$) :
$$\lambda{}\overrightarrow{x}+\mu{}\overrightarrow{y}=
(\lambda + \mu) (\frac{\lambda}{\lambda + \mu} \overrightarrow{x} + \frac{\mu}{\lambda + \mu} \overrightarrow{y})$$

-x n'est pas non plus dans $B$ car sinon, par convexité, 0 le serait (car x et -x dans $B \Rightarrow \vec{0} \in B$)

Dans le dernier paragraphe, il traite le cas qu'il n'a pas encore traité : celui où n > 2 et il suppose, par l'absurde, qu'un sous-espace maximal $L$ parmi les sous-espaces vérifiant $A \cap F = \varnothing$ est de dimension $< n - 1$.

OK, je viens de comprendre ton soucis pour la convexité.

Exprimons la convexité cette façon : soit $\vec{x'}, \vec{y'} \in B$. Et soit $0 \leq s \leq 1$. On pose $\vec{x'} = \lambda \vec{x}$ et $\vec{y'} = \mu \vec{y}$ avec $\lambda, \mu > 0$ et $\vec{x}, \vec{y} \in A$.

En remplacant alors $\lambda$ par $s\lambda$ et $\mu$ par $(1-s)\mu$ dans la formule donné par Tauvel, on obtient :
$$(s\lambda + (1-s)\mu) ( \frac{s\lambda}{s\lambda + (1-s)\mu} \vec{x} + \frac{(1-s)\mu}{s\lambda + (1-s)\mu} \vec{y})$$

La première paranthèse représente un réel > 0. La deuxième est un élément de A par convexité de A (car les facteur de $\vec{x}$ et $\vec{y}$ sont > 0 de somme 1. Donc le tout est un élément de B.

J'spère avoir été plus explicite (et ne m'être pas trompé).

Pour le $-x$, effectivement j'ai été trop vite. Mais comme le dit Tauvel, il faut se reporter au 5.4.4. car le (i) donne si $-x \in I(B) = B$ et $x \in Fr(B) \subset Adh(B)$ alors [-x, x[ est inclus dans $I(B) = B$.

Hahn Banach n'est pas vraiment important en lui même, mais il a une grande quantité de corollaires (souvent triviaux) qui sont eux super utiles, ne serait ce que le fait que dans n'importe quel Banach, $\|x\|=\sup_{\|f\|=1}$.
Le fait qu'un fermé convexe est l'intersection d'hyperplan est également très utile lorsqu'on se préoccupe un peu de topologie faible (j'ai pas d'exemple concret en tête, mais je peux en trouver).

Oui c'est çà.

Seb

A propos de la topologie quotient,
ici la surjection canonique $E \rightarrow E/L$ est ouverte. Mais c'est pas tout à fait par définition de la topologie quotient.
En général la surjection canonique d'un espace topologique dans un quotient n'est pas ouverte.

Par contre, si la relation est de la forme $X/G$ ou $G$ est un groupe continument agit sur l'espace topologique $X$ alors la surjection canonique est ouverte.
Ici le groupe $L$ agit de facon continue sur $E$ par translation et donc la surjection canonique est ouverte.

Par ailleurs, pour Pitchou, voici un petit "topo" élémentaire sur la topologie quotient

http://www.cmap.polytechnique.fr/~peyre/objectif-agregation/documents/

Enfin, dans le livre Objectif agregation p97, il y a une demonstration de théorème de hahn-banach géométrique dans un espace de Hilbert et qui s'adapte de facon immediate en dimension finie.

Bon courage à tous

Vincent