Suite : challenge du we

B......t · June 2006

Soit la suite :

$a_1=0$
$a_2=1$

$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_{n}|+(-1)^nn$

Déterminer :

$\liminf\frac{a_n}{n}$ et $\limsup\frac{a_n}{n}$

bosio frederic0 · June 2006

Il y a de l'iteration de fonction affine par morceaux la-dessous.

GPP29 · June 2006

Bonjour,

Le comportement de la suite a_n semble chaotique.

Il est clair que inf(a_n/n) >= -1.
Cette valeur correspond aux cas où n est impair et où a_(2n-1) = a_2n

De l'examen des 20 000 premières valeurs de a_n on peut déduire empiriquement :
lim inf (a_n/n) semble tendre vers -1.
Lorsque n croît, on trouve des paires de valeurs a_n, a_(n+1) très voisines les unes des autres

La suite sup(a_2n/2n) semble croître très lentement. On trouve ainsi les valeurs successives suivantes :
n = 118 2n = 236 a_2n= 871 a/2n= 3,69058
167 334 1350 4,04192
580 1160 4763 4,10503
1520 3040 12500 4,11184
1912 3824 15823 4,13781
9447 18894 78826 4,17201

Je ne vois pas de pistes pour aller au delà. Mon sentiment est cependant qu'il n'existe pas de majorant de sup(a_n/n).

Richard André-Jeannin · June 2006

J'ai fait, il y a 2 jours une petite étude des 1000 premiers termes sur Excel. La suite u(n)/n semble effectivement être la plupart du temps entre -1 et 4, avec des débordements au dessus de 4.

B.....t · June 2006

Merci d'avoir regardé cette curiosité. Il me semble aussi que le comportement semble chaotique autour d'une droite moyenne.

Ce qui est curieux c'est le fait que liminf semble valoir -1, ce qui donc parait accessible à une démo.

Je pense contrairement à GPP29 que limsup existe et est >4. Une racine de polynôme?

A noter que la récurrence :

$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_{n}|-n$

est prévisible.

Nicolas2 · June 2006

J'ai aussi regardé ce problème. J'ai fait aussi des simulations sur excel et j'en tirait à peu de choses près les mêmes conclusion que les précédents posts.
B(enoi)t> As-tu une solution ou un début de solution?
D'où tires tu ce problèmes? (contexte, origine du problème)

nicolas

Nicolas2 · June 2006

J'ai aussi regardé ce problème. J'ai fait aussi des simulations sur excel et j'en tirais à peu de choses près les mêmes conclusion que les précédents posts.
B(enoi)t> As-tu une solution ou un début de solution ?
D'où tires tu ce problème? (contexte, origine du problème)

nicolas

Richard André-Jeannin · June 2006

En fait c'est chaotique "par morceaux". Il y aussi des zones où le graphique est très régulier
Le graphique Excel joint donne la région (1189<=n<=1714).

[Contenu du fichier .xls joint. AD]

[Corrigé (1189) selon ton indication. AD]

Richard André-Jeannin · June 2006

C'est: 1189<=n<=1714

B.....t · June 2006

Désolé je n'ai pas de solution! C'est un exemple pour illustrer que ce genre de récurrence n'est pas toujours simple. Cette suite est en effet apparue alors que j'étais en train d'étudier des suites comme :

$a_1=a_2=0,\,a_3=1$
$a_{n}=|a_{n-1}-a_{n-2}|+(-1)^na_{n-3}$

qui elle est complètement prévisible puisque je trouve :

$a_{4n}=(-1)^n(2E(n/2)-1)$
$a_{4n+1}=-2(-1)^nE(n/2)$
$a_{4n+2}=n^2-n+2$
$a_{4n+3}=n^2-n+2+(-1)^n$

Je posais la question ici en espérant que quelqu'un voit un truc pour la limite supérieure et plus généralement pour le comportement de la suite. Le graphe de Richard est intéressant. C'est aussi assez curieux si on trace en nuage de points sur une grande plage.

Alain Debreil · June 2006

le graphique xls de RAJ 4549

B.........t · June 2006

Soit cette autre suite voisine :

$b_1=0$
$b_2=1$

$b_{n+2}=|b_{n+1}-|b_{n}||+(-1)^nn$

La suite $(\frac{b_n}{n})_{n>0}$ possède apparemment 3 points d'accumulation très simples :

$-1,3,5$

Quelqu'un voit il comment le démontrer?

En particulier :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{4n}}{4n}=3$
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{4n+1}}{4n+1}=-1$
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{4n+2}}{4n+2}=5$
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{4n+3}}{4n+3}=3$

Suite : challenge du we

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