dérivation d'une série entière

Babou0 · June 2006

Bonjour,

Je me demande si pour la dérivée d'une somme infinie (genre série entière) est égale à la somme des dérivées ?? Y a-t-il des conditions à vérifier ?

Merci.

Philippe Malot · June 2006

Dans le cas des séries entières, on peut dériver autant qu'on veut du moment qu'on reste dans le disque de convergence.
Dans le cas plus général de séries de fonctions on demande une convergence uniforme des sommes partielles des dérivées, qui est automatiquement vérifiée dans le cas des séries entières.

med · June 2006

$$(\sum_{k=1}^{n}f_k(x))'=\sum_{k=1}^{n}f'_k(x)$$
Remplaçer $n$ par $\infty$, c'est pas grave, je pense. suffit que les $f_k$ soient dérivables.

Le barbu rasé · June 2006

Med : >
C'est très grave au contraire puisque ton symbole $\sum$ n'a plus le même sens !

Pour compléter la réponse de Philippe, même si je ne suis pas à 100\% sûr de moi (si je me trompe, je compte sur toi pour me corriger Philippe) : pour que la question ait un sens, il faut aussi que la série de départ converge simplement. J'entends : on pourrait avoir convergence uniforme des sommes partielles des dérivées sans que la série ne converge simplement, et donc l'égalité $(\sum f_n) ' = \sum (f_n')$ serait fausse puisque le terme de droite aurait un sens et pas celui de gauche...

klabouny · June 2006

Si on parle de fonctions $f_n$ par exemple $C^1$ sur un intervalle $I$, il suffirait de supposer que $\sum f_n$ converge en un point $x_0$ de $I$ (en plus de la convergence uniforme des sommes partielles des dérivées...) pour avoir la convergence de $\sum f_n$ sur $I$...

Qui y croit ?

(et de rajouter $I$ compact pour avoir la convergence de $\sum f_n$ également uniforme )

dérivation d'une série entière

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