Projection orthogonale

jp · June 2006

Bonjour,
je sais qu'on peut reconnaitre une matrice P de projection en calculant son carré : P²=P.
je me demande si, travaillant dans une base orthonormée, il est simple de voir si c'est une projection orthogonale, sans calculer image et noyau.
Merci.

mathelot0 · June 2006

Si f désigne l'endomorphisme de matrice P, f rond f = f.
Pour tout vecteur u, u-f(u) appartient à Ker(f). l'e.v E de départ est donc somme des sous-espaces Ker(f) et Im(f).
En prenant un vecteur x dans l'intersection de Im(f) et Ker(f), on
montre aisémment que la somme est directe.
f est donc la projection sur Im(f) dans la direction Ker(f).

archimède0 · June 2006

$P$ est une projection orthogonale ssi $2P-I$ est une isométrie et si $P^2=P$.

oumpapah0 · June 2006

bonjour

dans un espace euclidien :
p endomorphisme est un projecteur orthogonal ssi p²=p et p symetrique.
dans une base orthonormée cela se traduit par: P matrice représentant p,egale à sa transposée et P²=P.

( et ne pas oublier que le rang d'un projecteur est egal à sa trace
résultat simple et utile)

Oump.

jp · June 2006

Merci à tous.

J'y vois plus clair :
en travaillant avec la symétrie associée à la projection, qui a, dans une base orthonormée, une matrice symétrique, on montre l'équivalence proposée par Oumpapah.

Oumpapah, p symétrique signifie :
pour tous vecteurs x et y de l'espace vectoriel, ( x | p(y) ) = ( p(x) | y ) ?
cela se démontre, j'imagine, en utilisant une base orthonormale adaptée à p ?

archimède0 · June 2006

Soit $p$ une projection orthogonale sur $F$ et $G=F^\perp$.
On note $x=y+z$ avec $y\in F$, $z\in G$.
Alors
$(x_1,p(x_2))=(y_1+z_1,y_2)=(y_1,y_2)$
$(p(x_1),x_2)=(y_1,y_2+z_2)=(y_1,y_2)$

jp · June 2006

Ok
et matriciellement, dans une base orthonormée :
Pour toutes matrices colonnes $X_1$ et $X_2$, $^tX_1(PX_2)=^t(PX_1)X_2$, donc $^tX_1PX_2={^tX_1} {^tPX_2}$, d'où $^tP=P$.

dégradé · June 2006

$p$ est une projection orthogonale si elle est égale à son endomorphisme adjoint

Projection orthogonale

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