Différentielle

curieux0 · July 2005

Bonjour, je crois que si une application f est différentiable, alors elle est continue.

Nous savons que toute application linéaire est differentiable, donc toute application linéaire serait continue, ce qui n'est pas en général le cas.

Donc nous pouvons en conclure la chose suivante ? : si u:E-->F linéaire et si E est un espace de Banach, alors u est continue.

Simple question de curiosité.

sunset · July 2005

le problème est (il me semble) qu'en dimension infinie, toutes les normes ne sont pas équivalentes: prends l'exemple de f->f(0) pour ||.||2 et ||.||infinie
donc en dimension infinie, la définition de la différentielle ets plus problématique ...
Bon, la suite je ne la connais, vu qu'étant en spé, nous n'avons étudié les différentielles qu'en dimension finie

Vincent7 · July 2005

Le "vrai" théorème est toute application linéaire continue est différentiable. Et en dimension infinie toutes les applications linéaires ne sont pas continues.

Vincent

Cédric ALLALI · July 2005

Bonjour,

Une fonction f est différentiable si pour h assez petit,
f(x+h)=f(x)+L_x(h) +o(||h||) avec L_x linéaire et continue.

En dimension finie, toute application linéaire est continue donc c'est pour cela que souvent en spé, on oublie de préciser que L_x doit être continue.

Airy0 · July 2005

Exemple d'application linéaire non continue (sauf erreur):

E = {f complexe qui sont L^1 sur [0,1]} muni de || . ||1
et u est définie sur E telle que u(f) = f(0).

E est bien un banach, et u n'est pas continue en 0 puisque si f est définie sur [0,1] par :

f(0) =1 et f(x) =0 sinon, on a || f ||1 = 0 et |u(f)| =1.

Je pense qu'un assez bon moyen de construire des applications linéaires discontinues est de prendre une application linéaire u continue sur un banach (E1, N1), ensuite on choisit une norme N2 telle que (E1,N2) ne soit plus complet, et l'on complete (quand c'est possible ) E1 pour obtenir (E3,N2) complet.
La continuité du prolongement de u sur E3 n'y survit pas toujours, en fait u elle même n'y survit pas nécessairement...

Airy.

Pitou · July 2005

Bref, tout ça pour dire que la définition de la différentiabilité spécifie bien que l'application linéaire tangente doit être continue (ou si on veut le voir plus géométriquement, on veut que le graphe soit tangent à un sous-espace fermé), justement parce que la démonstration de l'implication différentiable => continue utilise explicitiement la continuité de la différentielle (si si je vous jure). Et comme le dit Cédric on l'omet souvent dans les petites classes.

mouaka · June 2006

j'aimerai recevoir des cours par ma boite

AlainLyon0 · June 2006

L'assertion : "Si une application est différentiable alors elle est continue" est
vraie pour un espace vectoriel normé de dimension finie, fausse pour un espace vectoriel normé de dimension infinie.

Revenons à la définition f(x+h)=f(x)+l(h)+h*epsilon(h) avec l application linéaire. En dimension finie l est toujours continue donc l(h) tends vers 0 quand
h tend vers 0, on a f(x+h)-f(x)=l(h)+h$epsilon(h) qui tend vers 0 quand h tend vers 0 ce qui revient à dire que f est continue en x pour tout x.
En dimension infinie rien ne garantit que l(h) tend vers 0 quand h tend vers 0 (il
existe des applications linéaires non continues), on ne peut pas conclure à la continuité. De fait une simple application linéaire non continue suffit aà donner
un contre exemple à l'assertion "Si une aplication est différentiable alors elle est continue"

Il est à noter que certains auteurs imposent dans la définition de la différentiation à l d'être continue. Dans ce cas on peut conclure que toute application différentiable est continue, mais alors en dimension infinie une application linéaire n'est différentiable que si elle est continue. En effet pour f linéaire la seule application linéaire telle que f(x+h)=f(x)+l(h)+h*epsilon(h) n'est pas continue puisque c'est f elle même. Tout ceci ayant lieu dans le cadre d'espace vectoriels normés. Je ne sais pas par exemple s'il existe des topologies rendant continues toute application linéaire (à votre avis?)

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