Maple : Courbe fermée autour de [-1,1]

Bonjour à tous,

J'aimerais tracer une courbe fermée autour de [-1,1], de ce genre là:(voir figure en fichier joint)

Comment réussir ? avec une courbe paramétrée je pense, mais de quel genre ?? Vous avez une idée ???

Merci beaucoup d'avance.

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Réponses

  • Salut Tertiath


    En polaire ta courbe ressemble à du $\rho = 1 + a \cos 2 \theta$. Par exemple la courbe paramétrée en Maple

    > plot([(1+0.4*cos(2*t))*cos(t),(1+0.4*cos(2*t))*sin(t),t=0..2*Pi],scaling=CONSTRAINED);

    a l'air de bien marcher. Si tu veux écraser encore plus les ordonnées tu peux multiplier le terme en $\sin t$ par un facteur $b < 1$.
  • Et en faisant tourner autour de l'axe réel (en 3-D donc), ça ressemblerait assez à une orbitale (moléculaire ?)...
  • Wouaww! egoroff, je n'attendais pas une réponse aussi précise, aussi parfaite !! C'est exactement ce que je voulais !!

    Comment as-tu trouvé qu'en polaire ça ressemblait à $\rho = 1 + a \cos 2 \theta$ et comment t'as trouvé la courbe paramétrée correspondante ??

    Merci mille fois en tout cas !!

    Tertiath
  • Grande culture mathématique personnelle de notre ami Egoroff, sans doute.
  • Oui c'est très bien d'avoir l'abilité de reconnaître les courbes !

    Si quelqu'un peut reconnaitre celui la qui est en polaire (voir plus bas), alors je dois avouer que c'est un génie !

    med4547
  • Euh non, culture mathématique c'est bien exagéré.. disons plutôt des heures perdues (pas complètement en fait !) à bidouiller avec des courbes paramétrées sur Maple :-)


    Pour ton exemple Tertiath, l'idée est qu'on part d'un cercle, dont l'équation polaire est $\rho = 1$, mais on le "perturbe" en ajoutant au rayon une fonction $2 \pi$-périodique, "grande" en $0$ et en $\pi$, "petite" en $\pi/2$ et $3 \pi /2$, ayant les variations qu'on imagine entre ces valeurs, et qui au vu des symétries du dessin est paire, et donne la même image de deux angles complémentaires ; le cosinus est un candidat très naturel !


    De manière générale s'il s'agit d'identifier une courbe en polaire le mieux est de la "redresser" mentalement, i.e. étant donné le graphepolaire de $\rho=f(\theta)$ tracer dans sa tête le graphe cartésien de $y=f(x)$ ; essayer d'identifier $f$, tracer dans Maple, et ensuite passer quelques heures à ajuster pour obtenir le résultat voulu. Par exemple voilà en pièce jointe ce à quoi j'arrive en voulant singer la courbe "en tête de souris" proposée par med ; ce n'est pas encore ça mais au prix d'une matinée de galère ça pourrait s'en rapprocher !


    Quant à l'expression paramétrique d'une courbe en polaire c'est assez simple : $\rho = f(\theta)$ veut dire que pour chaque $\theta$ on trace le point $M_{\theta}$ tel que $\overrightarrow{OM_{\theta}} = f(\theta) \overrightarrow{e_{\theta}}$ où $\overrightarrow{e_{\theta}}=(\cos \theta, \sin \theta)$ est le vecteur unitaire faisant un angle $\theta$ avec l'axe des abscisses. Donc les coordonnées de $M_{\theta}$ sont $(f(\theta) \cos \theta, f(\theta) \sin \theta)$ ; là encore $\theta \mapsto (f(\theta) \cos \theta, f(\theta) \sin \theta)$ est un candidat assez naturel au paramétrage ! A noter que sous Maple il existe aussi une option {\bf coords=polar} pour ceux que ce genre de manip met mal à l'aise.4556
  • Salut,

    Egoroff: tu viens de faire une belle approximation de la courbe que j'ai donné, dont l'équation en polaire est: sin(1/x) pour x=-2pi..2pi.

    amicalement
    med
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