Problème de lieu

Bonjour à tous,
je vous soumets le problème de lieu proposé à l'oral 2 du CAPES l'année dernière. (je joins la figure &quotimage" et la figure &quotdynamique pour ceux qui possèdent Géoplan.)

\underline{\bf L'énoncé:}
On considère un carré $ABCD$. On désigne par $M$ un point du segment $[AC]$.
On note $P$ (respectivement $Q$) le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(AD)$ (respectivement $(DC)$).
1) Construire la figure.
2) Démontrer que les droites $(CP)$ et $(BQ)$ sont orthogonales.
3) On note $N$ le point d'intersection des droites $(CP)$ et $(BQ)$. Emettre une conjecture concernant le lieu du point $N$ lorsque $M$ décrit le segment $[AC]$.
4) Démontrer la conjecture émise.


\underline{\bf Mes réponses... et mes questions!}
1) Cf fichiers joints.
2) Je l'ai montré de quatre manières différentes:
- Par les configurations, en remarquant que $PDC$ et $QCB$ sont isométriques.
- Analytiquement: en considérant les droites $(CP)$ et $(BQ)$ dans le repère $(D,\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA})$.
- Avec les vecteurs: En montrant aisément que $\overrightarrow{PC}.\overrightarrow{QB}=0$.
- Avec une rotation: Celle de centre $O$ et d'angle $\pi/2$, on montre que $(PC)$ a pour image $(QB)$.
3) J'ai conjecturé qu'il s'agissait d'un quart de cercle de diamètre $[BC]$ (Cf. figures).
4) J'arrive à montrer que $N$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$, et je n'arrive pas à réduire au quart de cercle. Et entre ça, la réciproque, je m'y perds un peu, alors j'ai pensé qu'un regard nouveau sur l'exercice serait le bienvenu!

Alors si vous pouvez m'aider!

Merci,

Bidou.