Différentielle et dimension

Bonsoir,

Dans le Mneimné-Testard, on peut lire p.69 la proposition suivante :
"Soit $f:A \rightarrow B$ une application de classe $C^1$, où $A$ et $B$ sont deux espaces vectoriels, de dimensions respectives $n$ et $p$ ; soit $y \in B$, $V=f^{-1} (y)$; on suppose que $f$ est une submersion en tout point de $V$ (c'est à dire que $df(a)$ est surjective pour tout a de $V$) ; alors $V$ est une sous-variété de $A$ de dimension $n-p$, et l'espace tangent à $V$ en $x_0$ est $\ker df(x_0)$ "

Cette proposition est immédiatement utilisée pour déterminer la dimension de $SL_n(\R)$ et $O(n)$, de manière vraiment très très élégante (et globalement compréhensible !). Mais cette proposition n'est malheureusement pas démontrée (ou je n'ai pas vu la démo). En connaîtriez vous une démonstration ?

Et une petite confirmation pendant qu'on parle (presque) de différentielle : une fonction est bien différentiable en $a$ ssi toutes ses dérivées partielles sont continues en $a$ ?

Merci

Cordialement