cosinus de rationnels

zdadezdae · June 2006

Voilà le problème:
Soit f de R dans R qui à x associe cos ( pi*x). Déterminer l'intersection de Q et f(Q). (Q est l'ensemble des nombres rationnels).
Merci d'avance.

Eric Lafosse1 · June 2006

Il me semble que le sujet a déjà été traité, et qu'il s'agit de {0;-1;1;1/2;-1/2}

zdadezdae · June 2006

Comment démontre-t-on ce résultat ?

jp · June 2006

en piece jointe un fichier word où tu trouveras un probléme permettant de répondre à cette question.

alekk · June 2006

$x=\frac{a}{b}$ où $a,b$ sont premiers entre eux. On peut donc trouver par Bezout $u,v$ tel que $au+bv=1$, ce qui entraine que $|cos(\frac{\pi}{b})|=|cos(\frac{\pi (au+bv)}{b})|)|=|cos(u \frac{\pi a }{b})| \in \mathbb{Q}$. (car $cos(nx)=P(cos(x))$ où $P \in \mathbb{Q}[X]).
\\
Ainsi on est ramené à trouver pour quelles valeurs de $b$, $cos(\frac{\pi}{b})$ est rationelle car on vient de voir qu'il y a équivalence entre $cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$ et $cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$.
\\
Soit donc $b$ tel que $cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$. Alors $cos(\frac{2 \pi}{b}) \in \mathbb{Q}$, ce qui est util car alors $z=e^{i \frac{2 \pi}{b}}$ est une racine primitive $b$-ième de l'unité qui vérifie $z+\frac{1}{z}=2 cos(\frac{2 \pi}{b}) = q \in \mathbb{Q}$. Ainsi $z$ est algébrique de degré au plus $2$, et son polynome minimal qui est le $b$-ième polynome cyclotomique, de degré $\phi(b)$, est de degré $1$ ou $2$.
Il suffit donc de trouver les antécédent de $1$ et $2$ par l'indicatrice d'Euler, ce qui n'est pas bien dur car il y en a très peu: $b=1,2,3,4,6$. On regarde alors ce qu'on obtient pour ces valeurs, et seul $b=1,2,3$ semble marcher.

alekk · June 2006

$x=\frac{a}{b}$ où $a,b$ sont premiers entre eux. On peut donc trouver par Bezout $u,v$ tel que $au+bv=1$, ce qui entraine que $|cos(\frac{\pi}{b})|=|cos(\frac{\pi (au+bv)}{b})|)|=|cos(u \frac{\pi a }{b})| \in \mathbb{Q}$. (car $cos(nx)=P(cos(x))$ où $P \in \mathbb{Q}[X]).
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Ainsi on est ramené à trouver pour quelles valeurs de $b$, $cos(\frac{\pi}{b})$ est rationelle car on vient de voir qu'il y a équivalence entre $cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$ et $cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$.
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Soit donc $b$ tel que $cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$. Alors $cos(\frac{2 \pi}{b}) \in \mathbb{Q}$, ce qui est util car alors $z=e^{i \frac{2 \pi}{b}}$ est une racine primitive $b$-ième de l'unité qui vérifie $z+\frac{1}{z}=2 cos(\frac{2 \pi}{b}) = q \in \mathbb{Q}$. Ainsi $z$ est algébrique de degré au plus $2$, et son polynome minimal qui est le $b$-ième polynome cyclotomique, de degré $\phi(b)$, est de degré $1$ ou $2$.
Il suffit donc de trouver les antécédent de $1$ et $2$ par l'indicatrice d'Euler, ce qui n'est pas bien dur car il y en a très peu: $b=1,2,3,4,6$. On regarde alors ce qu'on obtient pour ces valeurs, et seul $b=1,2,3$ semble marcher.

alekk · June 2006

oops, je suis un peu fatigué ce soir. Si un administrateur pouvait réparer mes bêtises .. Merci

Alain Debreil · June 2006

où sont premiers entre eux. On peut donc trouver par Bézout tel que , ce qui entraîne que . (car où .
 
 Ainsi on est ramené à trouver pour quelles valeurs de , est rationnel car on vient de voir qu'il y a équivalence entre et .
 
 Soit donc tel que . Alors , ce qui est utile car alors est une racine primitive -ième de l'unité qui vérifie . Ainsi est algébrique de degré au plus , et son polynôme minimal qui est le -ième polynôme cyclotomique, de degré , est de degré ou .
 Il suffit donc de trouver les antécédent de et par l'indicatrice d'Euler, ce qui n'est pas bien dur car il y en a très peu: . On regarde alors ce qu'on obtient pour ces valeurs, et seul semblent marcher._inline172# semblent marcher.

Alain Debreil · June 2006

$x=\frac{a}{b}$ où $a,b$ sont premiers entre eux. On peut donc trouver par Bézout $u,v$ tel que $au+bv=1$, ce qui entraîne que $\left|\cos(\frac{\pi}{b})\right| = \left|\cos(\frac{\pi (au+bv)}{b})\right| = \left|\cos(u \frac{\pi a }{b})\right| \in \mathbb{Q}$. (car $\cos(nx)=P(\cos(x))$ où $P \in \mathbb{Q}[X]$.

Ainsi on est ramené à trouver pour quelles valeurs de $b$, $\cos(\frac{\pi}{b})$ est rationnel car on vient de voir qu'il y a équivalence entre $\cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$ et $\cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$.

Soit donc $b$ tel que $\cos(\frac{\pi}{b}) \in \mathbb{Q}$. Alors $\cos(\frac{2 \pi}{b}) \in \mathbb{Q}$, ce qui est utile car alors $z=\exp(i \frac{2 \pi}{b})$ est une racine primitive $b$-ième de l'unité qui vérifie $z+\frac{1}{z}=2 \cos(\frac{2 \pi}{b}) = q \in \mathbb{Q}$. Ainsi $z$ est algébrique de degré au plus $2$, et son polynôme minimal qui est le $b$-ième polynôme cyclotomique, de degré $\varphi(b)$, est de degré $1$ ou $2$.
Il suffit donc de trouver les antécédent de $1$ et $2$ par l'indicatrice d'Euler, ce qui n'est pas bien dur car il y en a très peu: $b=1,2,3,4,6$. On regarde alors ce qu'on obtient pour ces valeurs, et seul $b=1,2,3$ semblent marcher.

cosinus de rationnels

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