Fonctions holomorphes - exercice
Bonjour.
Dans son cours d'Analyse Complexe, Michèle nous propose cet exercice :
trouver toutes les fonctions entières $f$ vérifiant $|f(z)|=|z|^2$.
Je ne vois pas comment faire. J'ai essayé avec les condtions de Cauchy, mais ça ne me donne rien de bien intéressant. Si quelqu'un a une idée ?
Merci.
Dans son cours d'Analyse Complexe, Michèle nous propose cet exercice :
trouver toutes les fonctions entières $f$ vérifiant $|f(z)|=|z|^2$.
Je ne vois pas comment faire. J'ai essayé avec les condtions de Cauchy, mais ça ne me donne rien de bien intéressant. Si quelqu'un a une idée ?
Merci.
Réponses
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Désolé pour les messages en double, mais comme le site est un peu long j'avais réessayé "Envoyer" croyant que ça n'avait pas marché.
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regarde la fonction f(z)/z^2
que peut-on en dire? -
tu commence par montrer que si $f$ est une fonction holomorphe alors si $\vert f \vert=c$ $f$ est constante (utilisé les condtions de Cauchy-Riemann)
puis tu considère $g(z)=\frac{f(z)}{z^{2}}$ tu montre qu' elle est holomorphe, son module est constant égale à 1 donc $f(z)= e^{i\theta}z^{2}$ -
tu commence par montrer que si $f$ est une fonction holomorphe alors si $\vert f \vert=c$ $f$ est constante (utilisé les condtions de Cauchy-Riemann)
puis tu considère $g(z)=\frac{f(z)}{z^{2}}$ tu montre qu' elle est holomorphe, son module est constant égale à 1 donc $f(z)= e^{i\theta}z^{2}$ -
autre façon de voir on reconsidère $g(z)=\frac{f(z)}{z^{2}}$ elle est entiere borné on pense à liouville et on conclut
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> tu considère $g(z)=\frac{f(z)}{z^{2}}$ tu montre qu' elle
> est holomorphe, son module est constant égale à 1 donc
> $f(z)= e^{i\theta}z^{2}$
Ok.
> on reconsidère $g(z)=\frac{f(z)}{z^{2}}$ elle est entiere
Cette fonction est holomorphe en 0 ? -
Bonjour,
la fonction g est holomorphe en zero car elle est holomorphe sur C*, et bornee au voisinage de zero.
RRt -
tu peux calculer les coefficients $a_n$ du dse de f: pour tout $r>0$ on a:
$$2\pi a_n r^n=\int_0^{2\pi} f(re^{it})e^{-int}dt$$ et tu majores en module puis tu fais tendre r vers l'infini... -
Oui, $g$ se prolonge en une fonction entière, car elle est bornée au voisinage de 0. (On parle de fausse singularité)
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je détaille un peu au cas ou l'argument de prolongement est inconnu (je ne sais pas ou l'exercice se situe dans l'ouvrage...). La majoration donne pour tout $r>0$:
$$|a_n|r^n\leq r^2$$ aprés simplification...
donc si r tend vers l'infini on voit que $a_n=0$ pour $n>2$ et quand r tend vers 0 on doit avoir $a_n=0$ pour $n -
Ok. Merci à tous pour vos réponses.
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petite généralisation...
soit f une fonction entière qui est majorée en module par un polynôme.
que peut-on en dire
ps : c'est un exo du Rudin -
Une petite idée pour le poulpe ( sous toute réserve ).
On note $n$ le degré du polynôme $P$ majorant $f$ . On a $f(z) =Q(z)+z^{n+1}.g(z)$ avec $Q$ polynôme de degré au plus $n$ et $g$ entière . Alors :
$|z|^{n+1} . |g(z)| \leq |f(z)|+|Q(z)| \leq |P(z)|+|Q(z)|$ .
Comme $P$ et $Q$ sont deux polynômes de degré au plus $n$ :
$$\lim_{|z| \rightarrow +\infty} \frac{|P(z)|+|Q(z)|}{|z|^{n+1}} = 0$$
Alors $g$ est bornée sur $\C$ donc constante et $f$ est un polynôme .
Domi -
bien vu
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En fait, le chapitre sur les singularités, et la proposition sur le prolongement en un point d'une fonction holomorphe bornée au voisinage de ce point, sont situés après l'exercice.
<http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/analysecomp.pdf>
L'exercice est dans le chapitre 2 ; le chapitre sur les points singuliers et les fonctions méromorphes est le 4.
J'adopterai donc la méthode de vincent83 -
Plus rapide : $|f(0)|=|0|^2=0$ donc $f(0)=0$, puis $\displaystyle{\Big|\frac{f(z)}{z}\Big|=|z|}$ tend vers $|f'(0)|=0$ en $0$, donc $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n}$ et $\displaystyle{g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n+2)}(0)}{(n+2)!}z^n}$ donc $g$ est entiere, etc...
Pour $|f|\leq |P|$ avec $P$ polynome de degre $n$, on trouve que $f=cP$, où $c$ est un complexe de module inférieur ou égal à 1. -
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