Questions d'oral déjà posées

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Réponses

  • Salut Oblooh,

    Il est evident qu'une matrice de la forme PA a meme noyau que A.


    Reciproquement, raisonnnons sur les endomorphismes (d'un ev $E$) associes si $u$ et $v$ ont même noyau.

    Alors par passage au quotient, $u$ induit un isomorphisme $f_u$ de $E/ker(u)$ sur $Im u$
    de meme, on a $f_v : E/Ker v \rightarrow Im(v)$.

    On considère alors un supplementaire $H_u$ de $Im(u)$ et $H_v$ de $Im(v)$.
    Par raison de dimension ($Im(v)$ et $lm(u)$ ont même dimension puisque $ker(u) = ker(v)$) il existe un isomorphisme $g : H_u \rightarrow H_v$.

    On note $g_1 = f_v \circ f_u^{-1} : Im(u) \rightarrow Im(v)$.

    L'isomorphisme defini par $(g,g_1)$ donne la matrice $P$ souhaitée.

    Vincent
  • Deux questions qui m'ont été posées à l'oral de l'an dernier : daterminer le cardinal de SLn(Z/nZ). Prouver que IR[X] muni de la norme de L1 n'est pas un Banach.
  • $R[X]$ avec la norme $L^1$ ? c'est assez curieux ..
  • Oui Pitchou,
    <BR>
    <BR>reste la variante d'alekk qui est bien plus difficile .
    <BR>
    <BR>Domi<BR>
  • pour lalligator

    une autre demo qui part du fait que si XY nilpotent YX aussi.

    QPA nilpotent, donc PAQ nilpotent

    donc J_r nilpotent donc r=0 et A=0
  • @Pilz : Effectivement j'ai dit le contraire de ce que je pensais (en tout cas de la réalité) pour la continuité sur les rationnels vs irrationnels.

    @Sad Year : Non, ils m'ont demandé une fonction explicite. En fait ce n'est pas très difficile, il suffit de prendre $f(0)=0$ et $f(x) = e^{-\frac{1}{x^2}}$. Qui, si elle était développable en série entière (réelle), serait identiquement nulle dans un voisinage de 0.
  • exo posé il y a deux ans

    montrer que le produit des distances d'un sommet d'un polygone régulier inscrit sur un cercle de longueur deux pi aux autres sommets est égal au nombre de ses côtés !
  • exercice sur la leçon groupes distingués posé l'année dernière


    donner un exemple de deux ss groupes distingués, mais qui sont cependant conjugués pat un automorphisme.


    heureux samedi
  • Pour la question de 75cl.math :

    Cela résulte de : |P(1)| = n, où P est le polynôme (X$^n$-1)/(X-1)=1+X+...+X$^{n-1}$
  • exercice posé l'année dernière

    combien y a -t-il de sous-groupes isomorphes à S_n ds S_n x Z/2Z


    heureux samedi
  • Evh... bien sûr ! L1([-1;1]) et à la place de IR[X] la restriction des fonctions polynomiales à [-1 ; 1] !
  • si c'était un Banach, ce serait un espace de Baire et on ne pourrait pas l'écrire comme une union dénombrable de fermés d'intérieur vide, à savoir les $R_n[X]$ restreint à $[-1;+1]$.
  • Oui mais bon, ça c'est valable pour n'importe quelle norme.
    Puisqu'on précise une norme bien particulière, on attend sûrement de la part du candidat de donner explicitement une suite de Cauchy qui ne converge pas.
  • L'image de $$\exp :M(n,\Bbb R) \longrightarrow GL(n,\Bbb R)^+ $$est-elle dense ?
  • Salut,

    Il me semble que c'est non, si n = 2 on considère Diag(-1,-2) qui est dans $GL(2,R)+$, or ces valeurs propres ne peuvent être approchées par des exonentielles de complexes conjugués ou de réels.

    Est-ce correct ?
  • Bonjour oblooh,

    Tout à fait !

    Pouvez-vous alors décrire l'adhérence de l'image ?
  • L'image est sauf erreur l'ensemble des éléments de $GL(n,R)+$ dont les valeurs propres sont réelles (strictement) positives ou complexes conjuguées.
    L'adhérence de cette chose là dans $M(n,R)$ ? Deux racines complexes conjuguées peuvent être aussi proches que l'on veut des réels négatifs, donc sont dans l'adhérences les matrices dont les valeurs propres sont réelles positives ou nulles, ou négatives de multiplicité paire, ou complexes conjuguées. Je pense que c'est tout, ce serait donc &quotpresque" Mn(R).
  • votre description est juste mais néanmoins "redondante".
  • Ah bon ?
    Où redondant-ce t-il donc ?
  • Que représente le signe du déterminant (en dimension n) ? (La valeur absolue représente le volume du parallélélipède)

    L'ensemble des fonctions C^oo sur un intervalle [a,b] et l'ensemble des fonctions continues nulle part dérivables sur ce même intervalle sont denses dans l'espace des fonctions continues. Lequel est le plus "gros" ? (au sens topologique)
  • Pour oblooh,

    une matrice réelle a ses valeurs propres conjuguées, il n'est donc pas nécessaire de le préciser.

    L'adhérence de l'image de l'exponentielle est formée des matrices dont les éventuelles valeurs propres strictement négatives sont de multiplicité paire.
  • merci pour ton exo izboldyne.
  • Je ne puis m'empêcher de vous proposer un autre en rapport avec l'exponentielle réelle ?

    Est ce que l'image de l'exponentielle est ouverte dans GL(n,R)^+ ?
  • Eh bien l'image de l'exponentielle est l'ensemble des éléments de $GL(n,R)+$ dont les valeurs propres réelles sont strictement positives, et l'application qui à une matrice associe le n-uplet de ses valeurs propres dans C est continue (que je sache), donc pour moi l'image est ouverte.
  • Vous affirmez à plusieurs reprises que "l'image de l'exponentielle est l'ensemble des éléments de $ GL(n,R)+$ dont les valeurs propres réelles sont strictement positives". Or ce résultat est faux $$\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$$
    appartient à l'image de l'exponentielle.

    Seb
  • Dans ce cas seb, peux-tu préciser de quelle matrice elle est l'image ?
  • Oui,
    $$exp\left(\begin{array}{cc} 0 & -\pi\\ \pi & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

    Pour simplifier le calcul, on peut par exemple utiliser le morphisme de $\R$ algèbres de $\C$ dans $M_2(\R)$.

    Seb
  • En effet, je l'ai vérifié par 2 méthodes différentes... pas glop. L'idée était de trigonaliser M comme élément de GL(n,C), puis d'appliquer l'exponentielle à $P^{-1}MP$ ce qui donne $P^{-1}exp(M)P$, $exp(M)$ ayant sa diagonale faite des exp des valeurs propres de M dans C. Donc si ces vp sont réelles, les exp sont réelles positives. Si les vp sont complexes conjuguées, leurs exp le sont aussi...

    SAUF que ces deux conjugués PEUVENT être égaux, auquel cas on a pour exp(M) une vp de multiplicité paire qui peut être négative (-1 dans ton exemple) - ou positive, mais peu importe. Cela arrive lorsqu'une vp de M ($\pm i \pi$ dans ton exemple) a sa partie imaginaire dans $\pi Z$.

    Il faut donc corriger ainsi :

    1) Mon premier msg était juste

    2) L'image est l'ensemble des éléments de $GL(n,R)+$ dont les valeurs propres réelles sont (strictement) positives, ou bien (strictement) négatives de multiplicité paire.

    3) Mon 3ème est bon aussi (ie l'adhérence de cette chose là dans $M(n,R)$ est faite des matrices dont les valeurs propres réelles sont positives ou nulles, ou strictement négatives de multiplicité paire).

    4) Je persiste à affirmer que l'image est ouverte.
  • Tu vas commencer à m'en vouloir mais le point 2 est faux :-)
    La matrice $$\left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$ n'est pas dans l'image de l'exponentielle. Pour le voir il faut regarder la décomposition de Dunford d'une telle matrcie si elle existe.

    Seb
  • Le même exemple, ou plutôt
    $$\left(\begin{array}{cc} -1 & t \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$ permet de déduire que l'image n'est pas ouverte.

    Seb
  • oblooh, dans ton 2/ tu ne montres en fait qu'une inclusion je pense.
  • 2) L'image est {\bf{faite d'}} éléments de $ GL(n,R)+$ dont les valeurs propres réelles sont (strictement) positives, ou bien (strictement) négatives de multiplicité paire.

    On ne les aurait pas tous à cause de ce que l'exp n'engendre pas toutes les parties triangulaires &quotstrictement supérieures" (ie sans la diagonale) des matrices triangulaires du type décrit... ça se complique...

    seb, as-tu une idée pour fermer l'exo ?
  • peux être sais tu que l'image de l'exponentielle dans $M_n(R)$ est exactement l'ensemble des matrices inversibles qui sont des carrés ..
  • Si je ne me trompe pas il n'y a plus que le point 3) qui correspond à la question d' izboldyne

    Date: 06-20-06 10:58
    Pouvez-vous alors décrire l'adhérence de l'image ?

    et, pour le moment j'avoue ne pas avoir bcp d'idées.

    Seb
  • L'image n'est pas ouverte, c'est garanti
  • non cher alekk, car je n'ai pas ta science :)
    Mais peut-être remarqueras-tu que si j'avais connu ce résultat je n'aurais pas été dans cette direction :))
  • Le résultat donné par alekk ne donne toujours pas la réponse pour la description de l'adhérence de l'image.

    Seb
  • salut oblooh, voici une manière de montrer ce résultat:

    supposons que l'on sache que dans $M_n(\mathbb{C})$, toute matrice inversible $M$ possède un logarithme $L$, qui de plus est un polynome en $M$, $L=P(M)$. (c'est immédiat si on connait le calcul fonctionnel holomorphe par exemple dans les algèbres de Banach)

    On suppose alors que $M \in M_n(R)$ soit un carré, $M=A^2$, $A \in M_n(R)$. On trouve un polynome $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que $A=e^{P(A)}$. En prenant le conjugué de cette égalité on trouve aussi $A=e^{Q(A)}$ où $Q \in \mathbb{C}[X]$ est le polynome conjugué de $P$. Mais alors $M=A.A=e^{(P+Q)(A)}$ et $(P+Q)(A) \in M_n(\mathbb{R})$ car $(P+Q) \in \mathbb{R}[X]$
  • En effet alekk, merci pour la démo du sens non trivial, mais j'imagine que si tu nous parles de ce résulat c'est parce qu'il permet de répondre aux questions posées (sur l'adhérence de cette image) ? Or l'adhérence (il faudrait préciser dans quoi) des matrices inversibles qui sont des carrés, j'avoue que je ne vois pas trop comment ça le fait : la trigonalisation a montré ses limites dans ce cadre, ou alors une décompo remarquable qui accomoderait sympathiquement ces $A^2$ (mais je ne vois pas laquelle), ou bien connais-tu comme ta poche l'adhérence des carrés de $GLn(\R)$..
  • Quelqu'un pourrait-il décrire l'image de l'exponentielle ? merci
  • Pour Philippe Malot:

    1. le signe doit dire si l'on a un déplacement ou un anti-déplacement dans l'isométrie partielle (voir décompostion en isomérie)

    2. l'un doit-être un $G_{\delta}$ dense et non l'autre, et je dirais que le plus gros (topologiquement) ce sont les non-dérivables,

    voilà, parce que tes questions étaient biens et qu'il est bon qu'un agrégatif se coltine les démonstrations (moi j'ai déjà donné)

    amicalement,

    F.D.
  • Allez tant qu'on est dans ce thème, une petite question rigolote que vaut

    $exp(Gl_n(\C)$ ?
  • si on connait $exp(M_n(\mathbb{C}))$ qui est $GL_n(\mathbb{C})$ et que les inversibles sont denses ..
  • j'ai dit des bêtises..
    sinon chaque bloc de Jordan inversible est image d'une matrice inversible par l'exponentielle (voir ca avec un développement limité de lu logarithme). Donc l'image des inversibles par l'exponentielle est $GL_n(\mathbb{C})$ ?
  • On a $$exp(A+xI_n)=exp(A)$$ si $x=2i k\pi $

    Comme $A$ a un nombre fini de valeurs propres,
    $$exp(GL(n,\Bbb C))=exp(M(n,\Bbb C))=GL(n,\Bbb C) . $$


    Le cas de $$exp(GL(n,\Bbb R))$$ reste inconnu...
  • L'image de $M_n(\R)$ par $\exp$ est connu, Alekk en a donné la preuve, c'est les matrices inversibles qui sont des carrées.

    Plus délicat (peut-être):
    1) Si $A=-I_n+N$ avec $N$ nilpotente, donner une condition sur $N$ (sur ses blocs de Jordan?) pour que $A$ soit un carré dans $M_n(\R)$ et donc une exponentielle

    2) Décrire l'image de $M_n(\Q)$ par $\exp$. Il y a déjà les matrices unipotentes à coefficients rationnels (de la forme $I_n+N$ avec $N$ nilpotente rationnelle)... grçace au logarithme
    Y-en a t-il d'autres?
  • Désolé Boussi couto, j'avais lu trop vite ta question, du coup mon post n'est pas une réponse au tien...
  • Personne n'a encore décrit l'adhérence de $\exp(M_n(\R))$ je crois.

    Seb
  • Bonjour Seb,

    il me semble que Izboldine ait répondu à la question ((izboldyne (---.math.jussieu.fr)
    Date: 06-20-06 13:35

    Pour oblooh,

    {bf L'adhérence de l'image de l'exponentielle (réelle) est formée des matrices dont les éventuelles valeurs propres strictement négatives sont de multiplicité paire.}))

    à vérifier !

    Je me pose une autre question:

    " L'image de l'exponentielle réelle est-elle un sous-groupe de GL(n,R) ?"
  • Pour la dernière question, j'ai bien envie de dire que si elle l'était, l'image de l'exponentielle serait ouverte... :)
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