les conjectures en mathématiques

bs1
bs1
dans Mathématiques et Société
bonjour

je viens de lire le fil passionnant dédié à HR ,qui est en quelque sorte une conjecture; l'énoncé est simple et la preuve (vrai ou faux) est plus que délicate.

la conjecture de Goldbach appartient à cette famille.

quelles sont à ce jour les conjectures mathématiques ( dont l'énoncé reste compréhensible par beaucoup) et qui donnent du fil à retordre aux plus grands cerveaux de la planète?

j'ai du mal à choisir un thème sur la liste préécrite, peut-être peut-on y rajouter histoire ?

merci

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    De Polignac qui est à mon sens une généralisation de Goldbach, et le statut arithmétique de la constante d'Euler-Mascheroni, dont on ignore encore s'il sagit d'un nombre rationnel ou irrationnel, algébrique ou transcendant. Je conjecture personnellement qu'elle est transcendante. Mais il faut bien sûr le démontrer...
  • jaybe
    jaybe
    Tout bloc fini de chiffres apparait-il dans l'écriture décimale de $\sqrt{2}$ ? Pour beaucoup de gens, la réponse devrait être oui...
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme

    Tout dépend de ce que l'on appelle "beaucoup": on peut approximativement classer les gens par leur niveau (réel) en maths en utilisant un nombre entier relatif $a$ qui indique leur niveau $ref+a$ (où $ref$ est un niveau référence, par exemple le niveau exigé au bac en 2006).

    Le premier sens que l'on pourrait donner à beaucoup serait alors la moyenne nationale $a_{moy}$, mais je pense qu'elle est négative (probablement autour de $-3$, les gens on grosso-modo le niveau brevet des collèges), ce qui limite beaucoup les choses.

    Ce qu'on peut faire en revanche c'est expliquer de façon simplifiée certaines conjectures, sans les équations.

    Exemple: il existe une équation qui permet de modéliser très efficacement les mouvements des fluides (les liquides et les gaz), c'est l'{\it équation de Navier-Stockes}. Mais on ne sait pas démontrer mathématiquement dans ce modèle si oui ou non au bout d'un certain temps les vitesses des points du fluide peuvent se mettre à avoir une répartition discontinue après être parties d'une répartition continue.


    Autres exemple un peu plus relevé: on ne sait pas si les fameuses constantes mathématique $\pi$ et $e$ sont oui ou non rationellement dépendantes.


    D'autres conjectures (en anglais) sont présentées, avec quelques équations, sur la page \lien{http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_conjectures#Open_problems}

    Plus généralement cherchez "open problems" dans google. En particulier il y en a des tas avec un énoncé assez facile en théorie des graphes et en combinatoire (je ne dit pas qu'ils sont très importants, juste non-résolus à ce jour).

    --
    abc
  • Domi
    Domi
    Il y a aussi la très fameuse conjecture de Syracuse dans $\N^*$ , $f(n) = n/2$ si $n$ est pair et $f(n) = 3n +1$ sinon . Cette suite semble toujours passer par 1 pour tout $n$ .

    Domi
  • bs1
    bs1
    bonjour abc
    quand je disais beaucoup, c'était beaucoup d'entre nous, fidèles mathernautes de ce forum.
    merci pour les références,c'est top.
  • borde
    borde
    Une conjecture parmi d'autres, mais très très difficile : la conjecture ABC.
    <BR>Voir <a href=" http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html"&gt; http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html</a&gt;
    <BR>
    <BR>Borde.<BR>
  • borde
    borde
    Je...corrige le lien : <a href=" http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html"&gt; http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html</a&gt;
    <BR>
    <BR>Borde.<BR>
  • bs1
    bs1
    Bonjour

    Y a-t-il un lien entre le pseudo abc et la conjecture abc ?

    Merci à Borde pour le lien unicaen ; cette conjecture difficile abc est mentionnée dans un livre que tu cites souvent : de Koninck/Mercier.

    Pour Sylvain : sur le lien mentionné par abc, Polignac paraît être une généralisation des nombres premiers jumeaux plutôt que de Goldbach (de plus, ils parlent de nombres premiers pairs dans wikipedia, si je traduis bien)

    Pour la leçon nombres premiers, pourquoi ne pas citer 2 ou 3 conjectures ? Goldbach, Polignac, jumeaux ça fait culture
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Existe-t-il une infinité de nombres premiers dans la suite de Fibonacci, dans celle de Lucas, ou dans n'importe quelle suite choisie par vous au hasard ? (vous avez 99 pourcent de chances de tomber sur un problème insoluble)
  • fb0
    fb0
    Autre exemple : existe-t-il un nombre parfait impair? Mais ce genre de problème, bien que très naturel, n'est pas forcément celui sur lequel les mathématiciens passent le plus de temps.
  • Sylvain
    Sylvain
    @bs:
    De Polignac est effectivement une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux et même du théorème d'Euclide (il existe une infinité de nombres premiers). Mon affirmation qu'il s'agit d'une généralisation de Goldbach est effectivement un peu abusive, et je m'en excuse. Je voulais simplement dire que la notion de &quotrayon de primalité" (faire une recherche sur ce forum le cas échéant), si elle ne semble pas inspirer grand-monde en dehors de moi (ce que je regrette mais comprends), est sans doute la clé de ces deux problèmes ouverts.

    @fb: le problème du nombre parfait impair est effectivement très intéressant, mais il m'apparait pour le moment moins &quotessentiel" ou &quotfondamental" que les 4 problèmes ouverts sur lesquels je me concentre, qui sont, faut-il le rappeler:

    1) HR
    2) Goldbach
    3) De Polignac
    4) le statut de $\gamma$

    Amicalement,

    Sylvain

    Sylvain
  • fb0
    fb0
    Il est difficile de dire quels sont les problèmes "fondamentaux" en maths. Pour moi, un problème est intéressant quand il y a derrière des structures suffisamment riches, des interactions avec d'autres domaines permettant d'alimenter la recherche. Ainsi, certaines questions peuvent paraître très intéressantes au début mais se révéler assez isolées. Je ne suis pas un spécialiste de 1) à 4) et ne peux donc dire si ces problèmes sont fondamentaux ou pas. HR est sans doute le plus digne d'intérêt, grâce au lien suggéré par Alain Connes avec la physique statistique. De nombreux travaux de recherche actuels font apparaître des liens entre le théorie des nombres et la physique théorique. En particulier, il me semble moins intéressant de travailler "sur HR" que sur les structures mathématiques mises à jour par ces travaux.
  • Sylvain
    Sylvain
    Citation: "En particulier, il me semble moins intéressant de travailler "sur HR" que sur les structures mathématiques mises à jour par ces travaux."
    <BR>
    <BR>Je suis d'accord avec toi, mais l'avantage de HR est justement de permettre la synthèse de ces liens et structures. Au fait, je pense que tu voulais dire "mises <B>au jour</B>" plutôt que "mises à jour", non ?<BR><BR><BR>
  • fb0
    fb0
    Oui "mises au jour" :-)
  • borde
    borde
    Une autre application de RH (je dis "RH", car il y a aussi GRH, ERH, ...) : si elle s'avérait être vraie, on n'arrêterait enfin de traiter des sommes d'exponentielles avec la très belle, mais très compliquée, méthode de Vinogradov.

    Borde.
  • fb0
    fb0
    Pourquoi pas HRG, HRE alors ? ;-)
  • Sylvain
    Sylvain
    Peut-être parce que GRH est une sous-suite de GRANDS Hommes, que sont à n'en point douter ceux qui ont établi les nombreux résultats nous rapprochant de la solution :-)
  • fb0
    fb0
    Bon ben moi je préfère le français : HRG... :-)
  • borde
    borde
    Tu as sans doute raison, fb, mais c'est juste une question d'habitude...

    Borde.
  • fb0
    fb0
    De toute façon, "RH" est déjà pris pour "Ressources Humaines"... :-)
  • Sylvain
    Sylvain
    Et "HR" pour "Hypothèse de Récurrence". Démontrer l'hypothèse de Riemann par récurrence, ce serait amusant, non ?
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Pour compléter le propos de fb, la GRH, c'est la gestion des ressources humaines.
  • le dadaiste
    le dadaiste
    LHOOQ ?

    le dadaiste
  • bs1
    bs1
    bonjour Sylvain

    tu travailles sur le statut de la constante d'Euler : c; il y a deux questions que je me pose, merci pour ta réponse éclairée.

    à ce jour ,quel est le nombre de décimales connu pour c ? ;et pour e , et pour $\pi$ ,tu connais ? ; oui, c'est pour comparer les trois .

    on connaît pour e un développement en fraction continue; pour $\pi$,on ne connaît pas de loi de formation pour obtenir un DFC; qu'en est-il pour c ?

    merci
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Il me semble qui conaissant le DFC d'un nombre, on est capable d'établir son caractère rationnel ou non! (le DFC d'un rationnel est fini)
  • borde
    borde
    Dans le même esprit que ce que cites le Barbu Rasé, on peut également connaître (avec, toutefois, beaucoup plus de travail) son caractère transcendant ou non.

    Pour $\gamma$, on sait que, si on avait $\gamma \in \Q$, alors son dénominateur ne contiendrait pas moins de 242 080 chiffres...

    Borde.
  • Longjing
    Longjing
    Il y a aussi une conjecture de Catalan.


    Ah non trop tard ... j'apprends que quelqu'un s'y emploie activement sur le forum.
  • Pilz
    Pilz
    Les records de décimales ( à ma connaissance, cela change vite)

    $\pi$: 1 000 000 000 000 environ
    $\gamma$ : 108 000 000 ( record de Xavier Gourdon et Demichel)
    $e$ : 1 250 000 000 ( Gourdon)
  • Sylvain
    Sylvain
    Borde: tu dis "Dans le même esprit que ce que cite le Barbu Rasé, on peut également connaître (avec, toutefois, beaucoup plus de travail) son caractère transcendant ou non."
    Veux-tu dire que la méthode est certaine et infaillible ?
  • borde
    borde
    Le critère de transcendance auquel je faisais allusion est "le même" que celui de l'irrationnalité, mais "poussé plus loin". C'est justement ce "poussé plus loin" qui, souvent, est très délicat à traiter.

    Borde.
  • Hugo_
    Hugo_
    C'est marrant tout de même, de voir que les concepts les plus "basiques" (ceux de l'arithmétique, comme la primalité, la divisibilité, etc), sont aussi les concepts autour desquels gravitent énormément de problèmes ouverts...

    Ou alors peut-être évoque-t-on moins les autres mystères, qui eux, font appel à des concepts moins naturels.
  • eddy1
    eddy1
    J'ai lu ton ancien mot sur les problèmes ouverts en mathématiques et sur les quatre conjectures sur lesquelles tu as travaillées. Je peux t'annoncer que je les ai toutes résolues sauf l'hypothèse de Riemann et je n'ai démontré que l'irrationalité de la constante d'Euler-Mascheroni.

    Bien cordialement, Eddy.
  • Sylvain
    Sylvain
    Je suis curieux d'en savoir plus...Tu as publié ces démonstrations ?
  • ev
    ev
    Ah ben moi pendant la météo j'ai démontré que la constante d'Euler-Mascheroni était algébrique de degré 283. Mais je ne poste pas le polynôme minimal parce que ça ferait tomber la grêle.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    Entre le résultat de eddy et celui de e.v. on peut dire que le phörûm a bien œuvré pour la constante de Euler-Mascheroni ... Quel week-end ! :)
    La semaine prochaine, on règle HR qui commence à devenir envahissante.

    Bien cordialement.
  • Sylvain
    Sylvain
    Le 1er avril est encore loin...Si progrès il y a, preuves j'attends, jeunes padawans !
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Pourquoi vous ne parlez jamais sur ce forum, de la conjecture de Hodge, et vous donnez plus d'importance à HR ?. Je n'ai vu personne parler de cette conjecture sur ce forum, même pas une personne qui s'interesse à cette conjecture sur ce forum. Est ce que c'est parce que ça demande beaucoup de prérequis que vous refusez de l'aborder ?
  • Sylvain
    Sylvain
    Pour ma part, la conjecture de Hodge, je n'y comprends rien. RH a au moins le mérite d'avoir un énoncé accessible et aisément visualisable.
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    D'accord. Merci Sylvain pour cette réponse. :)
  • Judoboy
    Judoboy
    C'est quoi RH ? Je crois que c'ets un truc que j'ai déjà démontré sans faire exprès, mais je savais pas que ça vous posait problème. Au pire je vous fais ça rapidos comme ça on passe à autre chose.
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonsoir,

    @ Judoboy: d'accord, mais essaie de faire court, et n'oublie pas la touche LaTeX à la fin. ;)

    Bien cordialement.
  • Sylvain
    Sylvain
    Si tu fais appel aux automorphismes de la classe de Selberg dans ta preuve, j'exige 10% du million de dollars que te décernera l'Institut Clay, au titre des droits d'auteur.
  • omega
    omega
    J'espère que tous les gens qui ont envisagé d'étudier les automorphismes de la classe de Selberg dans l'optique de démontrer RH ne demanderont pas tous 10 % de la somme...
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    @ omega: fort heureusement, les gens qui ont envisagé d'étudier les automorphismes de la classe de Selberg en vue de RH ne travaillent pas tous aux impôts sous un gouvernement socialiste. (:D

    Bien cordialement.
  • Judoboy
    Judoboy
    J'imagine que RH c'est Riemann Hypothesis ? J'ai mis 3 jours à trouver ça, c'est un bon début pour la démontrer.
  • Nash
    Nash
    Absolument.
  • Sylvain
    Sylvain
    Au cas où il serait nécessaire de le préciser, mon "exigence" n'était rien d'autre qu'une boutade...Et pour répondre à omega, j'ai bien peur que les automorphismes en question ne motivent pas grand-monde. Mais j'espère me tromper, et tomber un beau jour sur l'article d'un spécialiste qui les utilisera de façon intéressante. On peut rêver !
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