démonstration

une petite recurrence
d'abord (A;a) est bien dans A
en suite (A;a),(B;b) est un point qui varie en fonction de b
on remarque tres vite que ce point est dans AB ssi a et b sont de meme signe
appelons D ce point
(D;d),(C;c) la pareil c'est une droite quand c varie
et ce point est dans DC ssi d et c du meme signe

voila

Bonsoir,

Si M appartient au triangle ABC, alors il existe H $\in$ [AB] tel que M $\in$ [CH]

Il existe deux réels positifs a et b tel que H soit le Barycentre de (A;a) et (B;b). De plus il existe un réel c positif tel que M soit le barycentre de (H,a+b),(C,c), qui est le barycentre de (A;a) (B;b) (C;c).

Réciproquement, si il existe 3 réels positifs a;b et c tel que M soit le barycentre du système (A;a),(B;b),(C;c), alors M est le barycentre de (H,a+b), (C,c) ou H est le barycentre de (A,a), (B,b). H $\in$ [AB] donc le segment [CH] est dans le triangle ABC. Or M $\in$ [CH] donc M est dans le triangle ABC.

Dans cette démonstration j'utilise un résultat normalement vu en première qui dit que M $\in$ [AB] si et seulement si M est le barycentre de (A;a) et (B,b) ou a et b sont positifs.

j'espère t'avoir aidé.

Comme l'écrit, aeiouy, on se place dans le plan muni du repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$. la droite $(BC)$ a pour équation cartésienne relativement à ce repère (j'oublie l'espace) :$$1 - x - y = 0$$et le point $M(X,Y)$ appartient au triangle si, et seulement si :$$X \geq 0, \quad Y \geq , \quad 1 - X - Y \geq 0.$$Or $(1 - X - Y,X,Y)$ sont précisément les coordonnées barycentriques du point $M$ relativement au repère affine $(A,B,C)$.

Bruno