problème elliptique

celia4
celia4
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Est-ce quelqu'un connait des résultats sur le problème elliptique en dimension 1 (càd où la solution au bord est un réel (un point)) ?

Merci d'avance

Réponses

  • matematibo
    matematibo
    Tu peux préciser un peu ta question ? Tu veux quel genre de résultats ? Pour quelle(s) équation(s) ? Dans quel(s) espace(s) ?
  • celia4
    celia4
    Rebonjour,

    je veux des resultats d'existence, de regularité et des estimations sur la solution u d'un probleme aux limites elliptique par ex :
    div D(A).gradu=f sur ]0,1[ et u(0)=0
    où V est un operateur lineaire agissant aur des matrices A

    Merci d'avance
  • egoroff
    egoroff
    Je ne vois pas de $V$.. c'est $D$ plutôt non ? Mais pas besoin de parler de gradient et compagnie en dimension 1 je pense. Tu devrais préciser un peu ton prblème parce que ce n'est pas très clair : quel genre de matrice $A$ ? quel type de solutions ?
  • Cauchy0
    Cauchy0
    Je crois que grâce aux th de trace les termes du bord disparaissent dans ce cas
  • celia4
    celia4
    Bonjour,

    oui c'est vrai le V n'est autre que D où$ D: M^{3x3}\longrightarrow lin(M^{3x3})$qui à une matrice A fait correspondre D(A)(lineaire par rapport à A). et grad u n'est autre que u' (la derivée) où u est de [0,1] à valeurs dans$ \mathbb R^{3}$ (vectoriel non scalaire) avec u(0)=0, u(1)=1.
    Ma question c'est quel genre d'estimations sur la solution u peut-on avoir ?(le prob c'est que u sur le bord (donc sur les extremites de mon intervalle) est un reel et non plus une fonction coe dans les cas generaux où u=g une fonction donnée dans H^{2}sur le bord par exemple et donc dans les estimations du prob general on a norme de g dans H^{2} du bord qui apparait, alors que dans mon cas le g(0) =0 ou g(1)=1 alors les normes de 0 et 1 disparaissent ou pas?
    j'espere que c'est plus clair maintenant.

    Merci d'avance
    Bon weekend
  • egoroff
    egoroff
    Je ne comprends toujours pas : $D \in L(M_3)$ (ce que laisse entendre ton premier post : l'image d'une matrice est une matrice) ou bien $D \in L(M_3,L(M_3))$ (ce que laisse entendre ton dernier post : l'image d'une matrice est un opérateur linéaire sur les matrices) ???

    Il reste aussi à préciser la dépendance éventuelle de $D$ et $A$ en $t$ (désolé de faire mon boulet mais il y a trop d'implicite dans tes messages).
  • celia4
    celia4
    c'est plutot l'image d'une matrice est un operateur lineaire sur les matrices. (donc D(A) est lineaire et non pas D)
    J'ai pas compris ta deuxieme question c'est quoi t?

    Desolé pour le derangement
  • egoroff
    egoroff
    Euh pardon, c'est vrai que là c'est moi le pas clair, et pas besoin de t'excuser pour le dérangement !

    $t$ pour moi c'est la variable qui se balade dans $]0,1[$, mais c'est vrai que pour des problèmes elliptiques on a plutôt des variables d'espace...
  • celia4
    celia4
    Rebonjour,
    oui les pb elliptiques ne font pas intervenir le temps (c'est plutot les equations d'evolution qui le font).
    par ex on a que A est une rotation (matrice 3x3) ne dependant que d'une seule variable vivant dans [0,1].
    on n'a pas un expression explicite
    merci
  • corentin
    corentin
    Il me semble que la condition $div(A\nabla u)=f$ s'écrit $(Au')'=f$ puisqu'on est en une seule variable, donc $Au'=\int f$ puis $u=\int A^{-1}\int f$ ($A$ est inversible puisqu'elliptique).
    On connait donc la régularité de la solution si on connait la régularité de $A$ et $f$.
  • Cauchy0
    Cauchy0
    Corentin tu ne doit pas oublie les termes du bord, a mon avis il faut ecrire la FV du probleme, si on prends notre equations sur $\Omega$=[0,1] , on aurai :
    $\displaystyle \int_{\Omega} Au'v'+\int_{\partial\Omega}Au'.v.n =\int_{\Omega}fv$ dans notre cas cela ce traduit par :
    $\displaystyle \int_{0}^{1} Au'v'+Au'(1).v(1)-Au'(0)v(0) =\int_{0}^{1}fv$
    Donc la il faut presiser les conditions du bord (donc u'(0)=?, u'(1)=?) avec v\in H^1
  • Cauchy0
    Cauchy0
    De plus Corentin, toi tu travail dans H^1 et pas C^1, donc pour obtenir la regularite il faut passer par une FV et pas par une simple integration
  • corentin
    corentin
    Je ne travaille ni dans $H^1$, ni dans $C^1$, on a $(Au')'=f$ au sens des distributions, donc si $F$ est une primitive de $f$, on a $(Au'-F)'=0$, et donc $Au'=F+C$.
  • Cauchy0
    Cauchy0
    Corentin meme c est pas vrai pour chercher la regularite d une EDP elliptique, il faut passer par une FV ensuite prendre v=u pour avoir des estimations sur les normes!
  • Cauchy
    Cauchy
    Donc celia, je pense que ma FV est vrai, pour cela il suffit de nous presiser les conditions au bord (donc u(0),u(1),u'(0),u'(1)) pour savoir comment travailer avec les normes
    merci
  • celia4
    celia4
    pas besoin de u'(0) car u(0)=0 mais pour u'(1) je n'ai rien de connu, donc je reflechis puis je vous reponds,
    Merci dans tous les cas, vous m'aviez trop aidé
  • corentin
    corentin
    Ce n'est pas parce que j'ai fait quelque chose qui ne suit pas la méthode usuelle que c'est faux.
    En une seule variable, le problème est très simplifié, il ne me semble pas qu'on ait besoin de théorèmes lourds.
  • Cauchy
    Cauchy
    Corentin, ta methode marche seulement dans le cas des solutions classiques, nous ont travail pour la regularite de la solution faible, les choses different
  • NEPOTE VESINO
    NEPOTE VESINO
    Madame, Monsieur,
    Dans un cours de concepte mathématique, on me demande : "décrire les grandes étapes de la méthode d'éléments finis pour l'approximation d'un problème elliptique, en 2 dimensions. On précisera avec les justifications nécessaires le type de problème étudié, le domaine d'intervention, les démarches utilisées et illustrer votre résumé par des graphiques adéquats".
    Pourriez vous m'éclairer sur ce problème et m'expliquer ce qu'est un problème elliptique.
    Je vous remercie par avance.
    Cordialement.
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