matrice de rang 1 diagonalisable

Bonjour,
je bloque sur un petit exo : A quelle condition une matrice de rang 1 est-elle diagonalisable ?

Merci beaucoup

Réponses

  • La CNS est que sa trace soit non nulle.

    Ta matrice étant de rang 1, elle n'admet qu'une seule valeur propre non nulle et on sait que la somme des valeurs propres est égale à la trace...
  • Une CNS est que la matrice ne soit pas nilpotente. En effet l'image $F$ de $u\,:\,x\mapsto Mx$ est de dimension $1$ et donc l'induit $v$ de $u$ sur $F$ est de la forme $\ell\times Id_F$. On a donc, pour tout $x$, $u(u(x))=\ell u(x)$ et $X^2-\ell X$ est un polynôme annulateur de $u$. On conclut alors facilement.
  • petite formule utile: pour tout matrice $A$ de rang 1 $A² = tr(A) A$. on conclut alors immédiatement: une matrice de rang 1 est nilpotente ou DZ
  • Une autre CNS est que $Ker u\cap Im u=\{0\}$. Cela dit, c'est comme pour , la meilleure caractérisation reste celle de Cédric
  • Dans le §8 du Mneimné (chez Calvage & Mounet), on trouve $21$ CNS pour la question posée. Demander CNS était donc de l'humour ! En donner $21$ est sans doute de l'humour aussi (ou de l'atteinte à la pudeur des diptères).
  • La trace classifie les classes de similitude de rang $1$. Cela règle bien de choses.
  • Désolé pour mon manque de rigueur ! :)
  • ***Désolé pour mon manque de rigueur ! :)
    <BR>
    <BR>mais non, Cédric, tu n'as pas manqué de rigueur : on t'a demandé «LA» CNS et tu as donné <SPAN ID="txt22">la</SPAN> CNS. Au reste, un logicien dira peut-être que 21 CNS n'en font qu'une, puisqu'elles sont équivalentes (et moi je dirai que la tienne «suffisait» puisqu'elle se vérifie au coup d'oeil).<BR><BR><BR>
  • Bonsoir

    je ne comprends pas bien la subtilité, A supposée de rang 1 est forcément diagonalisable non?

    aimablement,
    S
  • Non, regarde par exemple
    (0,1)
    (0,0)
  • Merci, vu,

    je voyais ImA comme une droite stable par A, sans voir que l'image de ImA peut-être {0}

    S
  • Bonjour Fabert ! C'est de vous l'alexandrin :«d'amour me font, belle marquise, vos beaux yeux mourir» ?

    une autre CNS à laquelle on n'a pas encore pensé, c'est que

    la classe de similitude de notre matrice rencontre la droite engendrée par $E_{11}$


    ou encore que le bouquet de droites engendré par les $n$ droites $E_{ii}$ perce la classe de similitude de $A$ et que les $n^2-n$ droites engendrées par les $E{ij}$ pour $i\neq j$ la percent dans le vide
  • @samok : L'image de A n'est pas {0} sinon A ne serait pas de rang 1.
  • Un exo amusant:

    deux matrices de rang 2 sont semblables si et seulement si leurs polynômes minimaux sont les mêmes.

    à vérifier
  • Bonjour Fabert ! C'est de vous l'alexandrin :«d'amour me font, belle marquise, vos beaux yeux mourir» ?

    Une autre CNS à laquelle on n'a pas encore pensé, c'est que

    la classe de similitude de notre matrice rencontre la droite engendrée par $E_{11}$

    Ou encore que le bouquet de droites engendré par les $n$ droites $E_{ii}$ perce la classe de similitude de $A$ et que les $n^2-n$ droites engendrées par les $E{ij}$ pour $i\neq j$ la percent dans le vide
  • [Cette vision des choses me troue le ... !
    Pardon :) AD]

    Veuillez donc préciser !


    [... me troue la classe de similitude ! Bien sûr !
    Madame Bienséance qu'aviez-vous imaginé ?
    :)) AD]
  • Est-ce que la classe de similitude en question est connexe !

    J'entends celle de $E_{11}$, bien sûr. Pour les autres c'est bien connu.
  • Bonjour Fabert ! C'est de vous l'alexandrin :«d'amour me font, belle marquise, vos beaux yeux mourir» ?

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    Bonjour, Claude François,
    làs, que nenni, c'est de Molière !
  • J'ai entendu dire, Fabert, que vous écriviez de temps en temps de la poésie. Est-ce exact ?

    A part cela, il est intéressant de remarquer que les matrices de rang 1 forment une variété différentiable de dimension 2n-1 et qu'elle est tranchée par des hyperplans affines parallèles qui y découpent les classes de similitude, qui sont toutes fermées ds M(n,R) sauf une dont l'adhérence contient la matrice nulle. Chaque classe de similtude est de dimension 2n-2.

    En dimension n=2, l'ensemble des matrices de rang 1 est un cône quadratique épointé (sans le sommet) de signature 2,2. Tranché par l'hyperplan linéaire Tr(M)=0, il donne un cône quadratique de dimension 2 épointé, lui aussi et de signature 2,1. Les autres hyperplans affines y découpent des hyperboloïdes à une nappe.


    Pour se représenter cette image de façon sensible, imaginer un plan qui se déplace parallèlement à lui m^me et qui découpe des hyperboles sur un cône usuel de R^3 et qd arrivé en le sommet du cône il découpe deux droites... Inversement, en recollant toutes ces hyperboles et les deux droites on retrouve le cône. LoJacomo, qui voit en dimension 4, ne doit pas avoir de problèmes...



    Je ne trouve pas cela si rébarbatif que ça. Un effort Cher AD et vous viendrez au club !
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