Un Steinitz pour les evn

Bonjour tout le monde
Ayant un minimum de connaissance sur les evn et les espaces de Banach et après avoir contemplé le théorème de Steintz, j'ai remarqué cette conjecture : tout espace peut être plongé dans un sur-espace de Banach !!
Cela parait un peut amusant n'est ce pas ?
Mais sérieusement je n'arrive pas à prouver si c'est vrai ou faux, mais je sens qu'il y a un axiome du choix qui peut aider et n'étant que maths spé je ne peux pas aller plus loin.
Je serais alors très heureux de recevoir des remarques, merci d'avance.

Réponses

  • Oui, c'est vrai. Et même notre evn sera dense dans ce sur-espace.

    En fait, c'est la conséquence d'un théorème plus général (et classique en topologie) qui dit que n'importe quel espace métrique (A,d) (i.e un ensemble A muni d'une distance d) peut être vu comme sous-ensemble d'un espace métrique (B,d') de sorte que :
    1) d' restreinte à A coïncide avec d
    2) B muni de la distance d' est complet
    3) A est dense dans B

    De plus, on peut montrer qu'un tel complété de A est nécessairement unique (à isométrie près).

    Remarque : c'est d'ailleurs comme ça qu'on construit R : c'est le complété de Q.

    N'importe quel bouquin de topologie (et peut-être même le cours de ce site) pourra te renseigner plus en détails.
  • Oui c'est vraie, je viens de chercher sur internet sur ce sujet et j'ai trouvé la preuve du théorème.merci infiniment .
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