Loi de U+V

Bonjour,

Voilà j'ai un problème en proba.

On me donne U, V deux VA indépendantes de même loi f(x)=exp(-x) sur [0, infini[ et f(x)=0 ailleurs.

On me demande la loi de U+V. Comment dois-je partir ?

Merci.

Réponses

  • Tu peux :
    a) Chercher la fonction de répartition de U+V, puis ensuite éventuellement
    trouver la densité de U+V.
    b) Déterminer directement la densité de U+V en utilisant la formule de convolution si tu la connais.
  • J'ai dans mon cours une formule qui dit que :
    Pour toute fonction h mesurable bornée, on a :
    E(h(U+V))=Intégrale(h(u+v)*f(u,v)dudv), ou f est la fonction densité de (U,V)

    j'ai determiné f (facile car les VA sont independantes)

    Mais je dois trouver une expression de la forme : en posant z=u+v
    E(h(z))=Intégrale ( h(z)g(z)dz) et ainsi g est la densité de u+v
    Seulement je ne voit pas tro quel changement de variable faire... je suis bloquée à :

    E(h(u+v))=Int(h(u+v)*exp(-(u+v))dudv) sur R+*R+

    Si je pose z=u+v, que devient mon dudv ???

    Merci
  • Bonjour,

    Il y a effectivement plusieurs techniques pour montrer cela :
    1. produit de convolution
    2. fonction caractéristique ou transformée de Laplace
    3. la formule sur les C1-difféomorphismes
    4. technique avec la fonction muette (qui semble être celle que tu as apprise en cours)

    Tu effectues le changement de variables $z = u + v$ par rapport à $v$ par exemple et il vient alors : $dz = dv$. D'où $dz du = dv du$. Mais attention aux domaines (aux supports) : $z \in ]u , +\infty[$ et $u >0$ ou ce qui est équivalent : $0
  • Bonjour,

    Il y a effectivement plusieurs techniques pour montrer cela :
    1. produit de convolution
    2. fonction caractéristique ou transformée de Laplace
    3. la formule sur les C1-difféomorphismes
    4. technique avec la fonction muette (qui semble être celle que tu as apprise en cours)

    Tu effectues le changement de variables $z = u + v$ par rapport à $v$ par exemple et il vient alors : $dz = dv$. D'où $dz du = dv du$. Mais attention aux domaines (aux supports) : $z \in ]u , +\infty[$ et $u >0$ ou ce qui est équivalent : $0
  • Et comment faire si ça avait été : trouver la densité de U-V ? Peut-on passer encore une fois par les convolutions ?
  • U-V=U+(-V). On commence par calculer la fonction de répartition puis la densité de -V
  • j'aime beaucoup la technique de la variable muette qui s'adapte dans un grand nombre de cas.( Par exemple, trouver la distribution de $\frac{X}{Y}$ où $X,Y$ sont deux gaussiennes indépendantes. )
  • merci beaucoup RAJ :)
  • Après calculs, on trouve (pour la densité de U-V):
    h(x)=(1/2)*exp(-x), pour x>0
    h(x)=(1/2)*exp(x), pour x<0.
  • Bonjour à vous, j'ai un exercice dans le même genre...
    $X$ et $Y$ deux var abs cont. de loi uniformes sur l'intervalle $[0.1]$
    Soient $U$ et $V$ définies par $U=\frac{X}{X+Y}$ et $V= X+Y$
    Donc j'applique le changement de variable mais je n'arrive pas trouver le domaine (enfin j'ai quelque chose mais je suis pas sur du tout !)
    Après changment de variables $u=\frac{x}{x+y}$ et $v=x+y (*)$, on a $x=uv$ et $y=v(1-u) (**)$
    (*) nous donne $v \in [0,2]$ et $u \in [0,1/v]$ mais la j'ai souci car dans (**) en prenant $v=2$ et $u =0$ je retombe pas sur mes pattes !!
    donc je dirais $v \in [1,2]$ mais je suis pas sur du tout??
    Quelqu'un peut me confirmer ?
    Merci
    Amicalement
    Micke
  • je n'arrive pas a faire la méthode de Visiteur pour U-V... :(
  • Pour Micke,

    Même technique mais attention aux supports images !
    On a :
    $$
    X,Y \in [0,1] \Leftrightarrow 0 \le UV \le 1 \textrm{ et } 0 \le V(1-U) \le 1 \textrm{ et } 0 \le V \le 2
    $$
    Ce qui est encore équivalent à :
    $$
    U \in [0,1] \textrm{ et } 0 \le V \le \min\left(\frac{1}{U},\frac{1}{1-U}\right) \textrm{ et } 0 \le V \le 2
    $$

    Par ailleurs attention également à la Jacobienne :
    $J = |V| = V$

    Il vient alors alors :
    $$f_{U,V}(u,v) = v \mathds{1}_{\left[\min\left(\frac{1}{u},\frac{1}{1-u}\right)\right]} (v) \mathds{1}_{]0,1[}(u) \mathds{1}_{[0,2]}(v)
    $$

    Or $\mathds{1}_{]0,1[} (u) = \mathds{1}_{]0,1/2[} (u) + \mathds{1}_{]1/2,1[} (u)$

    Ensuite on peut déterminer la densité de $U$ par exemple :
    $$
    f_{U} (u) = \frac{1}{2(1-u)^2} \mathds{1}_{\left]0,\frac{1}{2}\right[} (u)+ \frac{1}{2 u^2} \mathds{1}_{\left]\frac{1}{2},1\right[} (u)
    $$
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