integration, question triviale
Bonjour,
Si $f$ est une fonction est une fonction mesurable strictement positive sur un espace mesuré $(A,\mathcal{A},\mu)$, de mesure non nulle, a-t-on obligatoirement que
$$
\int_{A} f d\mu >0 ?
$$
Merci et bonne journée !
PS comment faire pour ne pas avoir à recopier un code à chaque fois que l'in souhaite poster un message ?
Si $f$ est une fonction est une fonction mesurable strictement positive sur un espace mesuré $(A,\mathcal{A},\mu)$, de mesure non nulle, a-t-on obligatoirement que
$$
\int_{A} f d\mu >0 ?
$$
Merci et bonne journée !
PS comment faire pour ne pas avoir à recopier un code à chaque fois que l'in souhaite poster un message ?
Réponses
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Bonjour,
La réponse est oui. Considère $A_k = \{x \in A; f(x) >1/k\}$ ($k \in \N^*$). La réunion (croissante) des $A_k$ vaut $A$ donc $\lim_{k \to +\infty} \mu(A_k) > 0$ et il existe $k$ tel que $\mu(A_k) >0$. L'intégrale de $f$ est minorée par $\frac{\mu(A_k)}{k}$.
PS : il te suffit de t'inscrire ici \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/register.php?f=2&target=http://www.les-mathematiques.net/phorum/index.php}. -
Oh je connaissais cette preuve, j'avais oublié ! Merci beaucoup
-
Bonjour
si $\int_{A} f d\mu =0 $ alors $f=0$ $\mu$ presque partout ce qui est absurde
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Bonjour!
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