ensemble mesurable ?

Bonjour

La solution est peut-être évidente mais je ne m'explique pas pourquoi l'ensemble {x - y / (x,y) € ExE} serait mesurable si E est lui-même Lebesgue mesurable et de mesure non nulle.
Si quelqu'un a des lumières à m'apporter sur cette question.

Réponses

  • C'est l'image de ExE par l'application ExE->R, (x,y)->x-y qui est mesurable car continue.

    La non-nullité de la mesure de E n'intervient pas ici (mais permet de montrer que cet ensemble est un voisinage de 0 dans R).

    --
  • Pourquoi l'image continue d'un mesurable est-elle mesurable ?
  • je pense que ce n'est pas vrai en toute généralité que l'image d'un borélien d'un espace topologique par une application continue est encore borélien. Le mathématicien Suslin a étudié ce genre de question, peut etre que google en dira plus long ..
  • l' image d' un borélien par une application continue n' est pas borelienne (mais analytique) donc le truc de Mû marche pas.
  • Si, ça peut. Une application continue n'envoie pas forcément borélien sur borélien, mais ça n'est pas une raison pour qu'elle n'envoie pas mesurable sur mesurable...
  • exacte j' avais le message d' alekk en tête par contre je comprend le truc masse non nul implique que ca contient un voisinage de 0 parce que tu prend l' ensemble des irrationnels entre -1 et 1 c' est de masse non nul mais ca contient pas de voisinage de 0.
    Enfin peut être que l' image de cette ensemble par x-y contient un voisinage de 0 si quelqu' un pouvait répondre...
  • Bonsoir,
    ca contient quand meme un voisinage de 0 :
    puisque tout rationel compris entre -1/4 et 1/4 est la différence de 2 irrationels.

    mais pour la question de départ on pourrait avncer un peu en disant que
    l'ensemble en question est $\bigcup_{y \in E}E-y$?
  • cette question s'insère en effet dans une preuve que cet ensemble est d'interieur non vide, je suis aussi trés sceptique sur les affirmations sur la nature mesurable des images de mesurables hors des sentiers battus de la topologie de base (applications ouvertes/fermees, image continue de compacts).
    Pour Gecko, il me semble que cette reecriture naturelle en union bute sur
    son indenombrabilité...le mystère demeure encore un peu (peut être ?)
  • qui peux m'exhiber un borélien $B$ de $\mathbb{R}$ et une fonction continue $f$ de $\mathbb{R}$ dans lui même, avec la topologie usuelle, telle que $f(B)$ ne soit pas borélien ?
  • Je n'ai pas la réponse pour R mais je viens de tomber sur un exercice de Chambert Loir/Fermigier qui évoque que les images continues de boréliens de R² ne sont pas nécessairement boréliennes (avec des projections sur les axes justement": on y évoque les ensembles sousliniens, analytiques et les espaces polonais.
    Sur une feuille de prépa agreg de la faculté de Jussieu on prouve par une convolution de fonctions cacactéristiques que l'ensemble est un voisinage de 0 sans s'occuper de son statut d'ensemble mesurable.
    Je savais bien avoir lu que les questions d'images de parties mesurables ne se traitaient pas d' "un coup de cuiller à pot"...
  • je pense que tu veux dire que si $A-A$ est un voisinage de $0$ si $A$ est de mesure non nulle dans $\mathbb{R}^d$ ? et effectivement cela se fait immediatement si on sait que la convolution d'une fonction $L^p$ avec une fonction $L^q$ est (uniformément) continue (et bornée).
  • c'est effectivement le cas que tu décris mais la demarche suivie dans cet exercice ne souffle mot quant à la mesurabilité donc inutile pour mon propos...
    Si quelqu'un d'inspiré avait une piste exploitable je prends tout de suite!
    (Encore merci pour toutes les suggestions)
  • Pour les images de boreliens, je ne demande si la construction suivante marche (j'essaye fonction *mesurable* et non pas continue). On se restreint aux boreliens de [0, 1]; soit A un sous espace des parties de [0,1] qui ne soit pas borelien (on sait qu'il y en a, et de toute facon, s'il y en avait pas, on se poserait pas la question), et posons f x -> x*1A(x) avec 1A fonction indicatrice de A. Pour tout ensemble de la forme [c, 1], c danc [0, 1], l'image reciproque par f est [c, 1], donc f est mesurable. Par contre, f([0, 1]) est egal a la reunion de A et {0}, qui n'est a priori pas mesurable si A ne l'est pas.

    Je debute dans les fondements mathematiques des proba et en topo, alors il y a peut etre une faute de debutant :)

    Avec fonction continue, c'est nettement plus complique a imaginer, quand meme. Deja, on ne peut pas prendre l'image d'un ensemble compact, ni d'un ensemble de mesure nulle...
  • Tiens, sinon, une différence essentielle entre les boréliens et les espaces Lebesgue mesurables de R, c'est que l'ensemble des boréliens, avec la mesure associée, n'est pas complet, alors que la mesure de Lebesgue l'est. Le fait de supposer E de mesure non nulle me fait penser à ce point, qui sûrement ne sert à rien, mais bon...
  • je cherche du côté des translatés de boreliens mais sans résultat jusqu'ici ...
  • juste une remarque: si on prends $E$ avec la topologie discrète et $F$ avec la topologie grossiere il est évident de trouver une fonction borélienne qui n'envoie pas tout les boréliens de $E$ sur un borélien de $F$.

    Cependant ca à l'air assez dur d'exhiber de tels boréliens avec $E=F=\mathbb{R}$ et la topologie usuelle. (ou même de prouver leurs existence ..)
  • J'ai une idée complètement foireuse mais bon je l'expose quand même histoire de voir. Je considère pour tout y dans E la fonction $f_y$ telle que $f_y(x)=x-y$. Pour chaque x $f_y(E)$ est mesurable comme translaté d'un mesurable. Ensuite, si par chance une union quelconque de mesurables est mesurable alors c'est gagné.

    Enfin bon vu que je n'utilise pas la non négligeabilité de E ca me parait bien mort.

    t-mouss
  • Bon deja il faut supposer les $f_y(E)$ de mesure non nulle car si une union quelconque de mesurables éventuellement de mesure nulle était mesurable alors tout ensemble serait mesurable comme union de singletons.


    Néanmoins ca reste toujours aussi foireux.

    t-mouss
  • Une union quelconque de mesurables n'est pas mesurable en general, c'est meme la difference fondamentale avec une topologie qui permet de definir une mesure (c'est en general impossible de construire une mesure si on accepte les reunions quelconques et non pas seulement denombrables).

    D'ailleurs, l'exercice serait trivial si une union quelconque de mesurables etait mesurable.
  • Bonjour

    un petit coup de pouce :

    il faut penser a la mesurabilite du produit de convolution et son support
  • Plus precisement

    si $f$ est mesurable et s'annulle exactement en dehors de $A$ et $g$ est mesurable et s'annulle exactement en dehors de $B$ alors $f*g$ s'annulle en dehors de $A+B$

    et si de plus $f\geq0$ et$g\geq0$ on peut montrer que $f*g$ s'annulle exactement en dehors de $A+B$ presque partout

    et donc $A+B$ est mesurable
  • Une promesse d'avancée decisive !
    Excuse moi Said mais pourrais tu clarifier ton propos?... je commence à pédaler un peu dans le vide à force de me cogner à cette question.
  • Je pense que l'idée de Said est de convoler l'indicatrice de $E$ et l'indicatrice de $-E$, ce qui donne une fonction mesurable, son support étant $E-E=\{x-y,\ (x,y)\in E\}$, on a $f^{-1}(]0,\infty[=E-E$ qui est mesurable.
  • Est ce que l'image d'un borélien par une surjection ouverte est borélienne ?
    pcq l'application (x,y)-->(x-y,x+y) est un automorphisme linéaire de R^2 et la projection qui donne la première coordonnée est une application ouverte.
  • L'idée de Hyacinthe est trés séduisante, mais j'ai lu que c'était une erreur de Lebesgue de croire que la projection d'un borelien de R^2 donnait un borelien de R (je sais ça fait argument d'autorité mais j'écume en ce moment tellement de notes de cours diverses pour trouver une réponse satisfaisante à mon problème que je tombe forcément sur ces notes de bas de pages sans plus de précision et mon aisance en theorie de Lebesgue ne me permets pas actuellement d'approfondir par moi même ces questions).
    Visiblement la voie de la convolution semble repondre à la question (je l'avais deja aperçue dans un exo - cf reponse à "Alekk" - ) et je remercie entre autres Alekk Said et Corentin pour leur contribution ... néanmoins, il me semble qu'une explication basée uniquement sur les resultats de mesure serait riche d'enseignement vue la fausse facilité à apporter une réponse à cette question trompeusement "naïve".
    (Par ailleurs cette question apparait dans le Gramain au chapitre des propriétés de la mesure de Lebesgue soit bien avant la convolution).

    J'en profite pour demander si quelqu'un a des sources bibliographiques ou en ligne concernant les resultats et contre exemples de theorie de la mesure dans la veine d'un "Measure's theory" de Paul Halmos

    Encore merci à tous ceux qui se penchent sur ma question !
  • c'est aussi fait dans le Rudin sans convolution si je me rappelle bien...
  • Alekk je ne me souviens pas l'avoir vu dans "analyse reelle et complexe" (que je n'ai pas à ma disposition en ce moment si c'est bien de cet ouvrage qu'il s'agit ) peux tu m'en toucher un mot s'il te plaît?
  • Il me semblait que le pb concernait les images de boréliens par des fonctions continues générales mais de toute façon, on a un pb avec les ensembles de mesure nulle.
    En effet en feuilletant quelques bouquins, je suis tombé sur le contre-exemple suivant dans Théorèmes et Problèmes d'Analyse Fonctionnelle, Kirilov-Gvichiani, édition Mir :
    «soit A une partie non mesurable inclus de [0,1[. L'ensemble
    (A x {0}) U ({0} x A)
    est inclus dans [0,1] x [0,1], Lebesgue-mesurable (de mesure nulle) et ses projections sur les axes de coordonnées ne sont pas mesurables.»

    Par contre il y a plus loin l'exercice dont vous parlez :

    «Pour toute partie M de l'espace R^n désignons par M-M l'ensemble
    M-M = {x-y : x dans M, y dans M}.
    Montrer que si M est mesurable et admet une mesure de Lebesgue positive, alors l'ensemble M-M contient un voisinage de 0 dans R^n»

    avec les indications suivantes :

    «De la définition d'un ensemble mesurable on déduit sans peine qu'il existe un parallélépipède B tel que
    0.75 m(B) <= m(M inter B)
    Montrer que le parallélépipède B' centré en 0, homothétique au parallélépipède B dans le rapport 1/2, appartient à M-M. Voici l'idée de la démonstration : si b appartient à B', alors (b+M inter B') inter (M inter B') n'est pas vide, puisque de mesure positive.»

    NB: Kirilov dit qu'un sous-ensemble A de R^n est Lebesgue-mesurable lorsque pour tout epsilon>0, il existe un ensemble B appartenant à l'anneau engendré par les parallélépipèdes, tel que m*(A delta B)< epsilon.
  • ludo, je suis en train de réfléchir sur la mesurabilité de l'ensemble E-E et je voudrais être certain que Gramain le demande pcq dans tous les ouvrages que j'ai feuilleté où l'exercice qui consiste à montrer que si E est mesurable et si m(E)>0 alors E-E est d'intérieur non vide, est proposé, aucun ne le demande.
    Dans Mesures et Intégration de Vo-Khac Khoan, on y parvient en montrant d'abord que si mes(E)<oo, alors mes((x+E) delta E) tend vers 0 quand x tend vers 0, en étudiant d'abord le cas où E est une union disjointe d'intervalles semi-ouverts.
    Pour être plus proche de la solution par le produit de convolution, j'ai préféré prouver que si mes(E)<oo, mes((x+E) inter E) tend mes(E) quand x tend vers 0.
  • Merci pour ton aide, voici les références : exercice n°6 p.139 chapitre VI "mesure de Lebesgue sur la droite réelle",
    exercice démontrant la non vacuité de E et réinvestis pour donner un exemple d'ensemble non mesurable.
  • bonjour Ludo,

    dans la version anglaise tu peux voir l' exo5 chapitre7 et l'exo19 chapitre9. L'un prouve le résultat avec la convolution, et l'autre sans. (si c'est différent dans la version francaise, je pourrai poster les énoncés ..)
  • bonjour,

    (mini)Erratum: l'exercice du Gramain vise à établir la non vacuité de l'interieur de E; je l'ai résolu à l'exception de la question de mesurabilité.

    Merci Alekk car je suis en poste loin de chez moi et je n'ai pas déménagé ma bibliothèque personnelle: je ne dispose que du Gramain et des sources d'exos et de cours glanés sur la toile.
    Par conséquent je te serais reconnaissant de m'envoyer l'énoncé concernant la mesurabilité tout en sachant d'expérience que les exos du Rudin sont infaisables "sauf sur un ensemble d'exos de mesure nulle" (je suis peut être imperméable à la tournure de pensée de l'auteur ou bien réfractaire à la rédaction de ses questions...)
  • J'ai achete le rudin en question (en anglais, Japon oblige), et l'exercice a un enonce qui aide plus: il demande de montrer que A + B est un intervalle, avec A et B de mesure non nulle.

    J'ai pas le temps de trop regarder, mais j'avais pas intuite que cet ensemble etait un intervalle, et prouver qu'un ensemble est un intervalle, c'est quand meme plus facile que de montrer qu'il est mesurable...

    Il y a aussi un exemple ou ca marche avec des ensembles de mesure nulle (ensemble de cantor), ce qui est assez fascinant, quand meme.
  • salut ashigabou,
    j'aurais voulu te poser quelques questions sur tes études aux Japon, pourrais tu m'envoyer un mail car moi je n'ai pas accès au tiens :-)
  • tu precedes le dns qui apparait dans mes posts par david@, et tu as mon mail .
  • bonjour,

    je fais remonter ce post en apportant un petit résultat annexe glâné sur le net : dans la tribu engendrée par {1,3} sur Z, l'ensemble E = {1;3} est mesurable mais E - E = {-2;0;2} ne l'est pas.
    message pour Alekk et/ou Ashigabou: pourriez vous - si cela ne vous dérange pas - me transmettre en piece jointe l'exo du Rudin (sans la convolution de fonctions caracteristiques) que vous avez évoqué ? Par avance je vous adresse un grand "merci" !
  • Ayant recueilli quelques infos sur ce sujet j'en fais profiter le plus grand nombre:
    Le résultat annoncé par Gramain est faux pour les ensembles de mesure nulle (on peut construire des contre exemples sophistiqués, je n'ai plus sous la main l'adresse du site mais je peux la retrouver si besoin...) et à partir d'un tel ensemble, on peut "trafiquer" pour obtenir un contre exemple de mesure non nulle.
    Voilà c'est dit.
  • Je connais tres peu le rudin, puisque je l'ai achete suite a ce thread, justement, voulant approfondir mes connaissances en mesure/topo. Et j'ai lu trop vite, l'exercice montre en fait quelque chose de different (et la preuve par convolution resoud la meme question que l'exercice suivant):

    $\mu$ represente la mesure de Lebesgue sur R.

    if $A \subset \mathbb{R}$ and $B \subset \mathbb{R}$, define $A + B = \{ a + b; a \in A, b \in B\}$. Suppose $\mu(A) >0$ and $\mu(b) >0$. Prove that $A + B$ contains a segment.

    Hint: there are $a_0 \in A$ and $b_0 \in B$ where $A$ and $B$ have a density measure of 1. Choose $\delta > 0$. Defines $c_0 = a_0 + b_0$. For each $\epsilon \in R$, define $B_{\epsilon}$ to be the set of all $c_0 + \epsilon - b$ for which $b \in B$ and $|b - b_0| < \epsilon$. Then $B_{\epsilon} \subset \{ a_0 + \epsilon - \delta, a_0 + \epsilon + \delta\}$. If $\delta$ was well chosen and $\epsilon$ is small enough, it follows that $A$ intersects $B_{\epsilon}$, so that $(c_0 - \epsilon, c_0 + \epsilon) \subset A + B $ for some $\epsilon_0$.

    Complement: with C the Cantor's set, show that $C + C$ is an interval, but $\mu(C) = 0$.

    j'ai pas essaye l'exo, ni voir si sa preuve permet de resoudre la question originale.
  • En fait, en relisant le thread, tu voulais bien montrer a la base que l'ensemble est d'interieur non vide ?
  • non, je voulais prouver, comme l'exercice du Gramain le stipulait, que:

    "si un ensemble L mesurable E est de mesure non nulle alors l'ensemble "différence" E-E est également L mesurable ".

    Cette question fait partie d'un exercice où l'on démontre qu'un tel ensemble E est d'interieur non vide.
  • c'est bizarre, parce que la, on montre interieur non vide (si interieur veut bien dire ce la signification vulgaire laisse a penser, ie contient un ouvert non vide) sans montrer sa mesurabilite...

    Decidement, un exercice bien plus subtil qu'il n'y parait !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.