Carrés ... cubes?

jérémy2 · May 2006

Bonjour,

Je sais que l'implication suivante n'est pas toujours vraie:

$x_1^2=x_2^2$ $\Rightarrow$ $x_1=x_2$

Par ailleurs, puis-je dire que l'implication suivante est toujours vérifiée?

$x_1^3=x_2^3$ $\Rightarrow$ $x_1=x_2$

Merci.

[Utilisateur supprimé] · May 2006

$1\ne\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$

Joaopa

Domi · May 2006

Tout dépend du contexte $\R$ ou $\C$ ?

Domi

Alain Debreil · May 2006

$1\ne\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$

Joaopa

jérémy2 · May 2006

$1\ne\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ .... ???

Le contexte est $\mathbb{R}$

[Utilisateur supprimé] · May 2006

Merci de preciser

Joaopa

Le Furet · May 2006

Si tu n'es pas passé par la case TS, oublie complètement ce que Joaopa a dit

georges0 · May 2006

J'y suis passé par la case TS ... alors qu'en est-il de la réponse à ma question finalement?

gnome · May 2006

Puisqu'on est dans $\R$, la fonction cube est strictement croissante (sa dérivée est positive, et ne s'annule qu'en un point isolé), elle réalise une bijection de $\R$ dans $\R$ (le théorème de la bijection est-il toujours au programme de TS ?), donc l'équation $x^3 = y$ où $y$ est donné et $x$ est l'inconnue a une unique solution, ce qui doit répondre à ta question.

Dans $\C$, on n'a plus unicité, il y a même trois nombres complexes dont le cube est un nombre réel donné (non nul). Pour illustrer ça, tu peux essayer de résoudre $z^3 = 1$ (penser à utiliser l'exponentielle complexe, ça simplifie).

Domi · May 2006

Dans $\R$ la fontion $x^3$ est stritement croissante d'image $\R$ . Il en est de même de sa réciproque et ton implication est vraie .

Domio

georges0 · May 2006

Merci! ...et la bijection est toujours au programme de TS, mais elle n'est vu que "partiellement" disons ... Les petites subtilités ne sont pas vues, et je ne parle pas de démonstration ..

Le Furet · May 2006

Dans $\R$, toutes les fonctions $x\mapsto x^n$ avec $n$ impair sont des bijections de $\R$ dans $\R$ (car croissantes strictement). Donc il y a équivalence.

Dans $\C$, une équation $z^n = a$ a toujours $n$ solutions distinctes (sauf si $a=0$, auquel cas il n'y en a qu'une). Donc il n'y a jamais équivalence (sauf si $n=1, mais bon...)

Alain Debreil · May 2006

Dans $\R$, toutes les fonctions $x\mapsto x^n$ avec $n$ impair sont des bijections de $\R$ dans $\R$ (car croissantes strictement). Donc il y a équivalence.

Dans $\C$, une équation $z^n = a$ a toujours $n$ solutions distinctes (sauf si $a=0$, auquel cas il n'y en a qu'une). Donc il n'y a jamais équivalence (sauf si $n=1$, mais bon...)

Carrés ... cubes?

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