Polynôme pour groupe Galois donné

Rodolphe
Rodolphe
dans Algèbre
Bonjour,
mon examen de théorie de Galois approche et il est certain qu'un des exercices sera de determiner le polynôme donnant un groupe de Galois donné.
J'aimerais donc bien maitriser le sujet et je suis en train de chercher tout les polynômes donnant $S_3$ jusqu'à $S_6$ et $A_3$ jusqu'à $A_6$ (je ne pense pas qu'on aura au dessus de 6). Est-ce que vous avez des polynômes qui &quotmarchent bien" (c'est à dire où prouver que le groupe de Galois est celui qu'on cherche est rapide) ? Merci
Aussi on a vu comment construire une extension sur $\mathbb{Q}$ donnant pour groupe de galois le groupe cyclique de cardinal $N$ (prendre $p$ premier tel que $N$ divise $p-1$, on prend l'extension $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ à groupe de galois cyclique et le corps des fixes du sous-groupe de cardinal $N$ nous donne le corps souhaité) mais cette méthode ne donne pas le polynôme, est-ce possible ?
Avez-vous d'autres idées (d'autres groupe et polynomes susceptibles d'être interessant) ?

Merci !

Réponses

  • ...
    ...
    ben si cette methode donne le polynome
    et de plus c'est le corps correspondant au ssgroupe d'ordre (p-1)/N qu'il faut prendre (ou le sous groupe d'indice N)
    Sinon tu crois vraiment que ton exam va se resumer a donner des poly ayant tel groupe de Galois ?
    Car c'est quand meme quelque chose d'assez inutile.
    Par contre trouver le groupe de Galois d'un poly est plus marrant.
  • Rodolphe
    Rodolphe
    En fait je me suis trompé ce n'est pas forcément trouver le polynome ça peut être aussi trouver le corps. Mais d'après ce qui a été fait les années précédentes je pense que ce sera un polynôme (l'année dernière il y a avait trouver le polynôme donnant $S_6$).
    Oui tu as raison je me suis trompé c'est le sous groupe d'ordre (p-1)/N j'ai écrit trop vite.
    L'exam ne se résume pas à ça, c'est juste un des 4 exos.
  • ...
    ...
    un polynome donnant S6 statistiquement cela doit etre un exo tres simple
    allez au hasard X^6+437X^5+36753X^4+6758X^3+830X^2+2456378X+1
    y avait des questions intermediaires ?
    ya moyen que tu balances cet exo
  • Rodolphe
    Rodolphe
    Aucune question intermédiaire mais au feeling $X^6+X+1$ donne la solution je crois
  • ...
    ...
    Aucune question intermédiaire
    Mais ils n'ont peur de rien
    Sérieux il y a des choses dans le cours pour aider j'espère
    parceque sinon c'est quand même la lutte
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    A faire en exercice!!!
    Montrer que tout groupe abélien est un groupe de Galois d'un polynome à coefficient dans $\Q$.

    Dans le meme genre d'idée, il y a le theoreme de Shafarevich. Tout groupe abélien est groupe de Galois d'un polynôme à coeff dans $\Q$.

    Tout ceci fait partie de la theorie de Galois inverse.

    Joaopa
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Sinon, on a aussi la propriété suivante. Soit $P(X)$ un polynome de degre $p$ premier $\ge5$ a coeff dans $\Q$ admettant exactement deux racines reelles, alors Gal(P/\Q)=S_p$.

    Joaopa
  • Rodolphe
    Rodolphe
    Merci

    Quelle différence entre "Montrer que tout groupe abélien est un groupe de Galois d'un polynome à coefficient dans $ \mathbb{Q}$." et "Tout groupe abélien est groupe de Galois d'un polynôme à coeff dans $ \mathbb{Q}$." ?!
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Shafarevitch : résoluble (au lieu de ablélien), désolé...
    [Corrigé dans ton précédent message. AD]

    En tout cas, voici un lien tres intéressant
    <http://www.institut.math.jussieu.fr/dea/aa/dea01-02/Galois.pdf&gt;

    Joaopa
  • borde
    borde
    Peut-être ai-je mal compris, mais il me semble qu'il est plus important, en premier lieu en tout cas, de déterminer le groupe de Galois d'un polynôme donné.

    A titre d'exemple, j'ai mis dans le serveur d'exercices du forum la détermination du groupe de Galois de $P = X^6 + 2X^5 + 3X^4 + 4X^3 + 5X^2 + 6X + 7$, ce qui constitue un bon entraînement, non ?

    Borde.
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Sinon, on a aussi la propriété suivante. Soit $P(X)$ un polynôme de degré $p$ premier $p \ge 5$, à coeff dans $\Q$ admettant exactement deux racines réelles, alors $Gal(P/\Q)=\frak{S}_p$.

    Joaopa
  • Rodolphe
    Rodolphe
    Merci Borde, oui effectivement je trouve cela plus interessant mais ce n'est pas ce qui tombera aux exams, il sera demandé de trouver l'extension donnant tel groupe de Galois.
  • ...
    ...
    c'est le meme probleme
    t'as l'extension c'est que tu sais avoir un primitif et donc un poly et reciproquement
  • Le tenancier du Lilas Bleu
    Le tenancier du Lilas Bleu
    Puis bon faut pas déconner les examens on s'en secoue le bananier :)...
  • Rodolphe
    Rodolphe
    C'est aussi interessant mathématiquement parlant ...
  • Domi
    Domi
    Juste un petit apparté pour dire que réviser comme on joue au loto en se disant cela fait trois semaines que le 13 est sorti il y a de grandes chances pour qu'il resorte , est dans tous les cas un mauvais calcul .

    Domi ( qui n'a jamais eu de chance au jeu ) .

    Il faut connaître son sujet pour s'en sortir à coup sûr . C'est bête mais vrai .
  • Rodolphe
    Rodolphe
    C'est plus intelligent de travailler quelque chose qui a plus de chance de tomber et puis ne t'inquiète pas je ne suis pas du genre à apprendre uniquement ce qui sert pour l'exam. J'aime l'algèbre et la théorie de Galois et je cherche à en savoir le plus possible pour moi-même et pas pour ma note uniquement, en fait je suis même certain d'avoir mon année mais bon une bonne note ça fait plaisir aussi.
  • Domi
    Domi
    Crois-en mon expérience , ne pronostique pas , travaille pour toi ( même s'il est vrai que l'urgence oblige parfois à des choix draconiens ) .

    Domi ( sans aucune intension agressive ) :))
  • Le tenancier du Lilas Bleu
    Le tenancier du Lilas Bleu
    Non c'est méchant ce que j'ai dit, en plus je sais que tu aimes vraiment la théorie de Galois...Même si l'endroit où tu te trouves n'est pas l'idéal pour en faire (surtout si tu reçois un enseignement (cours + TD) intégralement 'russe'...).
    Faudrait vraiment qu'il recrute des algébristes (ou mieux, arithméticiens,mais ne rêvons pas) le taulier, ça urge! Jean-Claude, si tu nous écoutes, tes petits veulent aussi faire de l'algèbre ;-)
    Bon courage pour cette semaine qui arrive...
  • Le tenancier du Lilas Bleu
    Le tenancier du Lilas Bleu
    Non c'est méchant ce que j'ai dit, en plus je sais que tu aimes vraiment la théorie de Galois...Même si l'endroit où tu te trouves n'est pas l'idéal pour en faire (surtout si tu reçois un enseignement (cours + TD) intégralement 'russe'...).
    Faudrait vraiment qu'il recrute des algébristes (ou mieux, arithméticiens,mais ne rêvons pas) le taulier, ça urge! Jean-Claude, si tu nous écoutes, tes petits veulent aussi faire de l'algèbre ;-)
    Bon courage pour cette semaine qui arrive...
  • Guego0
    Guego0
    Un poste de maître de conf en algèbre est ouvert à l'ens Lyon pour la rentrée prochaine...
  • Euh...
    Euh...
    Il en recrute un cette année, mais c'est vrai que c'est un peu short. Et la liste des cours de M2 de l'an prochain devrait inciter les algébristes à l'exil...

    Que vive notre Maître, Seigneur et Roi !
  • Le tenancier du Lilas Bleu
    Le tenancier du Lilas Bleu
    Comment ce fesse ;-) que tu possedes la liste des cours de M2,Mon cher Euh...?Elle est sur le site de L'umpapa...?

    Mettre et saigneur tu veux dire euh?

    PS: quand on sait pas développer (a+b)^2, on fait de la géométrie...


    [Le Tenancier truc ... Pour les messages personnels, utilise plutôt le mail. Merci. AD]
  • Rodolphe
    Rodolphe
    Le tenancier du Lilas Bleu mais qui es-tu je ne vois pas ?!
  • ...
    ...
    quand on croit que quand on ne sait pas dev (a+b)^2 veut dire qu'il faut faire de la geom
    on se tait et on ne touche plus a l'algebre qui n'est rien d'autre qu'un synonime de geometrie
  • bs1
    bs1
    bonjour,
    pour S5 ,par exemple :P(X)= X^5 - 10.X + 5 qui n'est pas résoluble par radicaux ( ou x^5 - 14.x + 7 )
    va voir Escofier et ou Gozard, un vrai bonheur pour ta question
    tu apprendras ( sans preuve) que 18 des 26 groupes sporadiques sont groupes de Galois d'une extension de Q
  • Rodolphe
    Rodolphe
    Ok merci
  • Rodolphe
    Rodolphe
    Pour continuer, je n'arrive pas à :

    Déterminer l'indice de résolubilité du groupe de Galois du corps de décomposition de $ X^7 - 2$ sur $ \mathbb{Q}$
    C'est à dire l'indice de résolubilité de $ Gal(\mathbb{Q}(e^{i2\pi/7},\sqrt[7]{2})/\mathbb{Q})$.
    C'est un groupe de cardinal $ 7\times 6=42$ il n'est pas trop difficile de montrer que n'importe quel groupe de cardinal 42 est résoluble mais l'indice de résolubilité peut changer de l'un à l'autre, il faut donc déterminer plus précisement le groupe.
    Des idées ?

    Merci
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    c'est quoi l'indice de résolubilite?

    Joaopa
  • Rodolphe
    Rodolphe
    La plus petit $n$ tel qu'il existe une suite $G_0,...,G_n$ tq $G_0=\{e\}, G_n=G, G_{n+1}/G_n$ est un groupe abélien
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