Exo Ecole militaire Prusse 1912

koniev2 · May 2006

Bonjour
J'ai trouvé dans mes archives cet exo donné à l'entrée d'une ecole militaire de Prusse en 1912. C'est très réaliste.
Deux lignes de tirailleurs : A et B, sont face à face.
A tire 5 coups par homme et par minute. Sur 500 coups un ennemi est tué.
B tire 6 coups par mn et sur 1000 coups un ennemi est tué.
Au bout de 20 mn, A a tiré 8000 coups de plus que B
et compte 92 tireurs de plus que B.
Quels sont les effectifs de départ de A et B.
Il est facile de faire un tableau avec Excel en partant des effectifs de départ connus. mais ça ne donne pas la solution.
Celui qui trouvera la solution sera nommé aspirant honoraire de l'armée européenne. Personnellement je suis resté caporal-chef !
A vos fusils
Koniev

jaybe · May 2006

Sur 500 coups un ennemi est tué, c'est réaliste ? Ces tire-ailleurs portent bien leur nom !

Anthony · May 2006

Au bout de 20min, chaque homme a tiré respectivement 20*5=100 coups pour A et 20*6=120 coups pour B.
Le nombre total de coup par ligne est donc égal à 100A pour la ligne A et 120B pour la ligne B.
Or on sait que A comporte 92 tirailleurs de plus que B donc A=92+B.
De plus, vu que A a tiré 8000 coups de plus que B, on a : 100A=120B+8000.
On obtient donc : 100(92+B)=120B+8000 d'où 1200=20B donc B=60 et A=92+60=152.
La ligne A comprend donc 152 hommes et la B en a 60.

bs1 · May 2006

Bonjour Koniev
Il me semble que tu as déniché là un très joli exo bien réaliste

Jabir · May 2006

Jaybe

)!!

bosio frederic0 · May 2006

Dis Anthony, les victimes n'ont jamais tire ?

koniev2 · May 2006

Cher Anthony
C'est plus difficile que ça.
Au bout d'une minute il y a des tués de chaque côté donc le nb de tireurs pour chaque ligne est diminué ce qui fait que le nb de tués au cours de seconde mn diminue.
J'ai essayé de résoudre en posant x et y les effectifs de départ et en les diminuant pour chaque mn du nb de tués. On arrive très vite à des expressions imbuvables. Je crois qu'on peut y arriver par une équa-diff.
Pour ce qui est des tire-ailleurs, je crois que l'exo est réaliste car le poids des munitions nécessaires pour un tué est de l'ordre du kg et ce n'est pas l'arrivée des armes automatiques qui fera baisser ce poids.
Plus de 120 visiteurs et 3 réponses ?
Ce pb est analogue à ceux qui étudient la croissance de populations avec prédateurs ou la réaction de deux molécules qui se neutralisent mutuellement.
Que les âmes sensibles voient dans cet exo une présentation provocante d'un pb beaucoup plus général et qui mérite qu'on s'y arrête.
En joue, Feu !
Cordialement
Koniev

bs1 · May 2006

bonjour,
vu comme ça, ça fait penser au pb des boeufs de Newton ;l'herbe continue à pousser pendant qu'ils broutent
ici,les effectifs diminuent pendant que les survivants continuent à tirer

bs1 · May 2006

bonjour,
vu comme ça, ça fait penser au pb des boeufs de Newton ;l'herbe continue à pousser pendant qu'ils broutent
ici,les effectifs diminuent pendant que les survivants continuent à tirer

Jonathan1 · May 2006

Si on appelle $u_n$ le nombre de soldats A à la minute n, et $v_n$ la même chose pour le clan B, on a :

* $u_{20} - v_{20} = 92$

* $500(v_{20} - v_0) - 1000(u_0 - u_{20}) = 8000$ ( &quotcoups tirés par A" moins &quotcoups tirés par B", avec &quotcoups tirés par A" c'est 500 fois le nombre de morts de B )

* $u_{n+1} = u_n - \frac{6}{1000} v_n$ ( loi d'évolution de A )

* $v_{n+1} = v_n - \frac{5}{500} u_n$ ( loi d'évolution de B )

Est-ce que c'est vrai ( déjà ) ?

Et si c'est vrai ( de toute façon c'est quelque chose qui ressemble ), on pourrait Maple-iser tout ça non ? Ca risque de marcher ... La suite se résout par calcul de puissances de la matrice 2*2 de récurrence. Après y'aura sans doute des choses assez mochissimes, mais quand on veut devenir militaire !

Notons que j'ai discrétisé le problème ( j'admets qu'il puisse y avoir des demis morts ... C'est à dire que si j'ai 100 soldats B, il en découle 600 coups et donc 0,6 morts chez A, donc à l'instant suivant, il y aura 0,6 soldats en moins chez A ... ). Approche discutable ?

koniev2 · May 2006

A Jonathan
Les expressions donnant u(n) et v(n) sont exactes et m'ont servi à faire le tableau sur Excel , en prenant x=100 et y=80.
Par contre pour les coups de fusils (seuls coups entrant en ligne de compte dans cet exo) je propose :
5*sigma de n=1 à 20 de u(n) - 6*sigma de n=1 à n de v(n) = 8000
Voilà qui remet le pb dans son registre mathématique.
Cordialement
Koniev

koniev2 · May 2006

Chers Amis
Dire qu'il y a 0.6 tué cela revient à dire qu'il y aurait en moyenne 0.6 tué, soit lors d'un combat 0 tué, d'un autre 1 tué,... C'est comme on dit qu'une française adulte met au monde 2.3 enfants. Ces nb décimaux sont le résultat d'un total divisé par un entier. C'est le rôle ingrat de la moyenne qui est souvent une valeur de la variable aléatoire qui n'est pas observée (dans le cas d'une petite série de V.A. discrètes). Il n'empêche qu'elle rend bien compte d'une caractéristique de la variable. (la seconde étant l'écart-type qui rend compte de la dispersion).
Dans un tel pb on ne doit pas s'attendre à trouver un résultat sous forme d'un nb entier.
Cordialement
Koniev

Joukov · May 2006

Délire cet exo.

Une victime pour 500 tirs c'est très réaliste pour l'époque.
Aujourd'hui, avec l'automatisation des armes, on est dans les : 55 000 cartouches par tué.

boucherie · May 2006

Meme exo avec une machette. UNe machette = a peu pres 200 morts.

gnome · May 2006

On note $h_A$ et $h_B$ le nombre d'hommes chez A et B respectivement. La vitesse de tir chez A (resp

est $5 h_A$ (resp $6 h_B$), en tirs par minutes. Pour avoir la vitesse de tuerie, multiplions par le nombre de morts par tirs, et on aura les morts par minutes (exo : vérifier l'homogénéité des expressions).

On trouve alors pour les vitesses de tueries : $v_A = 0,01 h_A$ et $v_B = 0,006 h_B$.

Donc, pendant l'intervalle de temps $dt$, le nombre d'hommes tués chez $A$ est de $0,006 h_B dt$ et chez $B$ de $0,01 h_A dt$, soit :

$h_A (t+dt) = h_A (t) - 0,006 h_B (t) dt$, et analogue pour $B$

Donc $H' = AH$ où $H$ est la matrice colonne de $h_A$ et $h_B$, et $A$ est la matrice (0 ; -0,006 | 0,01 ; 0).

On a donc un système linéaire, et les conditions données dans l'énoncé ne doivent pas être loin de celles d'un problème de Cauchy.

Bon, ensuite, je laisse faire ceux qui ont mapple ...

Alain Debreil · May 2006

$A=\begin{pmatrix}0 & -0,006 \\ 0,01 & 0 \end{pmatrix}$

bisam · May 2006

En fait, j'ai fait les calculs exacts avec la même méthode que Jonathan (il y a d'ailleurs une petite erreur de signe dans ce qu'il a écrit mais tout le monde avait corrigé)... et j'ai obtenu environ (98,24).
J'ai aussi fait les calculs exacts avec la méthode du gnome... et j'ai réobtenu environ (98,24).

MAIS en partant de ce résultat et en faisant les calculs des morts seconde par seconde (A tire toutes les 12s et B toutes les 10s), on arrive à un résultat plus proche des 8000 coups de différence en commençant avec 96 hommes pour A et 22 pour B.
Au bout de 20 min, il reste alors 95 hommes pour A (il y a eu 1 seul mort) et seulement 3 pour B et A a tiré 7994 fois de plus que B. (Rq : les 6 coups suivants ne suffisent pas à tuer un homme de plus dans le camp

.

Jonathan1 · May 2006

à Koniev,

Je pense que nos conditions sont équivalentes puisque le nombre de tués est relié au nombre de balles tirées ... Et comme on a paramétré avec le nombre de tués ...

Richard · May 2006

Je pense que l'on peut appliquer à ce problème les méthodes de base utilisées en cinétique chimique, lorsque deux réactifs d'une réaction se consomment l'un l'autre à une vitesse donnée !

Je vais essayer cette méthode..

Jules Renucci · May 2006

Je soumets à votre avis la solution suivante :

Soit $A$ et $B$ les effectifs de départ.
Au bout de 20 mn la ligne A a tiré $C_A$ coups de feu
Le potentiel de tir en 20 mn de la ligne A au départ de l'action est $100A$
Le déficit en coups tirés sera $100A-C_A$ qui correspond à la mort de $\frac{100A-C_A}{100}$ tirailleurs de la ligne A
Même raisonnemant pour la ligne B : Déficit $120B-C_B$ qui correspond à la mort de $\frac{120B-C_B}{120}$ tirailleurs de la ligne B

A l'instant t=20 mn on a donc :
$$A-\frac{100A-C_A}{100}=B-\frac{120B-C_B}{120}+92$$
On a également $$C_A=C_B+8000$$
La résolution du système élimine $A$ et $B$ et l'on obtient :
$C_A=15200$
$C_B=7200$
La ligne B ayant tiré 7200 coups en 20 mn le nombre de tués de la ligne A est $\frac{7200}{1000}=7,2$tirailleurs
De même le nombre de tués de la ligne B est$\frac{15200}{500}=30,4$tirailleurs

Cher Koniev qu'en penses-tu?
amicalement
Le potentiel de tir en 20 mn de la ligne A au départ de l'action est donc de 15200 coups augmenté du potentiel représenté par les 7,2 tirailleurs tués soit :$15200 +7,1*100=15920$ coups de feu ce qui correspond à un effectif de départ de $\frac{15920}{100}=159,2$
De même pour la ligne B le potentiel de tir en 20mn au départ de l'action est 7200 coups augmenté du potentiel de tir des 30,4 tirailleurs tués soit :$7200+30,4*120=10848$ coups de feu ce qui correspond à un effectif de départ de $\frac{10848}{120}=90,4$
Ma solution est donc 159 tirailleurs de la ligne A et 90 pour la ligne B

Jules

Jules Renucci · May 2006

Je fais remonter le fil...
Koniev ou d'autres, pouvez-vous me dire si ma solution est valable
merci

koniev2 · May 2006

Chers Amis
Après de nombreux essais : algèbre, équa diff, Markov je me suis rabattu sur EXCEL en faisant une sorte de simulation.
Colonne 1 (notée C1) les effectifs de A pour chaque mn, en partant arbitrairement de 1000, C2 = le nb de coups de fusil tirés dans la mn, C3 = nb de tués chez B. C4 = les effectifs de B, C5 = nb de coups tirés dans la mn, C6 = nb de tués chez A dans la mn. Une ligne représente une mn.
On retire dans les effectifs pour chacun des groupes A et B le nb de tués dans la mn qui précède, et ainsi de suite.
On modifie les effectifs de départ de façon à obtenir à la fois une différence de 92 entre les effectifs finaux de A et de B et un nb de coups tirés par A et B de différence = 8 000.
Après quelques essais j'ai trouvé qu'avec un effectif au départ de 96 pour A et 21 pour B on arrive au bout de 20 mn à 94.57 pour l'effectif de A et 1.97 pour B soit une différence de 92.6. La différence des coups tirés est 8541.42 qui est très proche de 8000.
Mais je suis curieux de savoir si il existe d'autres solutions et d'autres méthodes.
Cordialement
Koniev

Jules Renucci · May 2006

Koniev, merci pour ta discrétion car tu ne fais aucun commentaire sur mon post qui présentait une solution évidemment fausse et même plutôt débile...donc merci encore.
En revanche je suis persuadé qu'il doit exister une solution relativement simple car en 1912 il n'était pas envisageable d'utiliser ni Maple ni même Exell.
amicalement

dido · May 2006

Bonjour,

Avec excel, je trouve ce qui est demandé, exactement, avec 140 pour A et 50 pour B.
Pour cela, j'ai subdivisé le temps en période de 2 secondes; ajouté 1 coup par homme tout les 6 périodes pour A et toute les 5 pour B et enlevé 1 homme pour A des que B avait tiré plus de 500;1000;1500.... coup et 1 homme pour B des que A avait tiré plus de 1000;2000;... coup
Au bout de 20 minutes, A contient 129 hommes et B 37 hommes; A a tiré 14000 coup et B 6000

bisam · May 2006

Mais tu as obtenu ce résultat par tatonnement...

dido · May 2006

Tout à fait, je n'ai pas de vrai méthode, mais je me disais que ça pouvait peut-être aider de savoir ce qu'on doit obtenir.......

dido · May 2006

Hummm, désolée, c'était competement faux, je vérifierais 15 fois ce que je fais avant de parler la prochaine fois.......

Jules Renucci · May 2006

Idem pour ma pomme!
Curieux que les "as" de ce forum ne nous aient pas encore fourni une solution....

oumpapah0 · May 2006

Bonsoir
Je découvre tardivement ce problème militaire.
On peut l'aborder par un calcul matriciel mais je vais donner une méthode qui demande simplement de savoir manipuler des suites géométriques et leurs sommes partielles et de savoir résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.

En reprenant des notations vues, en prenant a=0,01 et b=0,01
on est conduit à étudier les suites u et v définies par

u(n+1) = u(n) - bv(n)
v(n+1) = v(n) - au(n)

et les effectifs initiaux u(0) et v(0) à déterminer.
En fait u et v sont solutions de la récurrence linéaire

w(n+2) - 2w(n) + (1-ab)w(n-1) = 0

avec u(0) et v(0) données ( ici ils seront à déterminer ...)
et u(1) = u(0) - bv(0) et v(1) = -au(0) + v(0)

L'équation caractéristique associée est T² - 2T + (1-ab) = 0
on pose c=V(ab) d'où les racines 1+c et 1-c
u et v sont combinaisons de (1+c)^n et (1-c)^n
et un petit calcul donne (sauf distraction)

u(n) = l.(1+c)^n + m.(1-c)^n
v(n) = p.(1+c)^n + q.(1-c)^n

avec
l = [u(0) - (b/c)v(0)]/2
m = [u(0) + (b/c)v(0)]/2
p = [v(0) - (a/c)u(0)]/2
q = [v(0) + (a/c)v(0)]/2

Dans le problème donné on connaît u(20) - v(20) d'où une première relation entre u(0) et v(0) que je vous laisse écrire,
ensuite on calcule aisément le nombre de balles tirées au cours des 20 minutes puisqu'il suffit de sommet les termes des suites de raison 1+c ou 1-c de n=0 à n=19 ...
D'où une deuxième relation entre u(0) et v(0) ne mettant en jeu que les puissances d'ordre 20 de 1+c et 1-c..

Il n'y a plus qu'à résoudre le système linéaire donnant u(0) et v(0) à l'aide d'une calculette pour réduire les coeff. à la précision qu'on veut.

Là je suis pris de langueur l'essentiel en théorie est fait...
Oump.

koniev2 · May 2006

Cher Oumpapa
Si a = 0.01, b vaut 0.024 soit (6*4)/1000 et non 0.01.
Bravo pour la théorie qui m'est passée un peu au-dessus des oreilles. Suis-je le seul ?
Parmi toutes les solutions proposées je ne me fie qu'à la mienne qui utilise EXCEL et qui mn par mn modifie les effectifs face à face, le nb de coups tirés et le nb de tués. En modifiant les effectifs de départ on obtient les effectifs de fin, le nb de tués et de coups. Cette méthode n'est pas élégante, elle a le mérite d'être comprise par celui qui pratique un peu EXCEL et de donner une réponse chiffrée qui permet d'apprécier la valeur de la solution.
Encore un petit effort !
Des galons sont à gagner !
Bien cordialement
Koniev

Jules Renucci · May 2006

Pour Oumpapa :
Tu présentes une solution qui semble logique et rigoureuse.

Tu écris cependant :
u(n+1) = u(n) - bv(n)
v(n+1) = v(n) - au(n)

Ces suites sont évidentes. Le problème me semble être que l'on ne peut envisager pour les effectifs à chaque instant (l'unité de temps étant par ex. la minute) que des nombres entiers.
Ne devrait-on pas écrire plutôt :
u(n+1) = u(n) - E(bv(n))
v(n+1) = v(n) - E(au(n)) (E=partie entière)
Cela te permettrait-il de maintenir ta solution?

Pour Koniev : Ta simulation n'est pas une solution et tu le sais.

amicalement

Jules Renucci · May 2006

Pour Koniev, j'ajoute que je ne comprends pas "b vaut 0.024 soit (6*4)/1000 et non 0.01."

Il me semble que d'aprés l'énoncé :
A tire 5 coups par homme et ma mn d'où a=5/500=0,01
B tire 6 coups par homme et par mn, d'où b=6/1000 =0,006
non?

dido · May 2006

Koniev,

J'espere ne pas encore me tromper, mais ma simulation ne donne pas une différence de 92, mais une différence de 80 avec les effectifs de départ A=96 et B=21
Pour moi, la meilleure solution que j'ai trouvé est A=164 et B=72; ce qui donne 92 hommes et 7995 coups de différence

oumpapah0 · May 2006

Bonsoir

je pars en vacances pour 3 semaines et vais donc pour me distraire revoir tout ça avec a et b "petits" et positifs

rendez vous .. fin mai !

Oump.

koniev2 · May 2006

Cher Jules Renucci
Je m'a trompé, c'est bien 0.006.
Le texte original de l'énoncé est mal imprimé, j'ai au début lu 1/1000 puis à la loupe j'ai vu que ce que je prenais pour un "1" était en réalité un"4" .
J'ai fait une simulation pour ces deux valeurs et en écrivant mon post j'ai mal lu.
Cordialement
Koniev

Yalcin · May 2006

est-ce que ce problème est déjà réalisé en vraie vie ?

dido · May 2006

Je ne suis pas sure de comprendre, l'énoncé du premier post était faux ?

koniev2 · May 2006

Chers Amis
Je sais que ma simulation sur EXCEL n'est pas une solution et j'en demande une ou plusieurs, algébrique, analytique ou autre. Mais il faut convenir que cette simulation permet de vérifier si la solution proposée tient la route.
Ainsi pour A=164 et B=72 Excel donne finalement pour A et B 157 .2 et 39.9 soit une diff de 117.28 et non 92. Pour les coups 16831 et 7036 soit une diff de 9795 et non 8000.
Je ne pense pas qu'il soit bon de prendre les entiers. Le nb de tués est une moyenne comme je l'ai dit ailleurs.
Finalement le jury a décidé que vous étiez dignes d'entrer dans l'Académie militaire de la vaillante armée prussienne.
Cordialement, Koniev

Jules Renucci · May 2006

Cher Koniev

Merci pour ta réponse.
Peux-tu reproduire l'énoncé ? Je ne vois pas où se situe le 4 dont tu parles.
Par ailleurs, s'agissant d'un problème mathématique ne faut-il pas considérer :

1 - Les tirs ont lieu par rafales et non pas aléatoirement.
2 - Chacune les lignes A et B tire respectivement 5 et 6 rafales par minute
3 - La première rafale se fait simulatanément au temps t=1
4 - Dans la minute qui suit (unité de temps) la ligne B tire toujours avant la ligne A, la coîncidence se reproduira au temps t=2
5 - La précision des tireurs est la même pour chacune des lignes

amitiés

bisam · May 2006

Je corrigerais le 5ème point de la façon suivante :
5) Les tireurs de B sont plus rapides (6 coups par minute au lieu de 5) mais moins précis (1 mort tous les 1000 coups tirés au lieu de 500).

Enfin, je pense qu'il est clair que le nombre de personnes est ici trop faible et le temps divisé en intervalles trop long pour pouvoir se passer d'une étude discrète... Par conséquent, les études algébrique, proposée par Oump et Jonathan, ou analytique, proposée par gnome (et qui est d'ailleurs bien plus simple à résoudre) ne donneront qu'une solution apporchée du problème.

Je suis de ceux qui pensent que le problème ne possède pas de solutino exacte (sinon on l'aurait déjà trouvée

) et qu'on ne peut que s'en approcher quitte à simuler seconde par seconde ce qui se passe.

Je conclus en disant que c'est déjà ce que j'avais dans un post précédent (et désormais lointain !) et que je maintiens le résultat mentionné de (98,24) pour les solutions algébrique ou analytique et (96,22) pour la solution que je nommerais solution Excel (même si j'ai fait les calculs avec ma TI92).

Pour ceux que ça intéresse, je peux même fournir le texte du "programme" que j'ai tapé pour les calculs.

Jules Renucci · May 2006

Bisam, bonjour.

Tu écris : "Je corrigerais le 5ème point de la façon suivante :
5) Les tireurs de B sont plus rapides (6 coups par minute au lieu de 5) mais moins précis (1 mort tous les 1000 coups tirés au lieu de 500)."

Relis le dernier post de Koniev où il dit s'être trompé. En fait les tireurs de B tuent 4 hommes ( et non 1) pour 1000 coups tirés. Soit 1 ennemi pour 250 coups. Il tirent donc plus vite et d'une manière plus précise (6 coups minute et 1 tué pour 250 coups) que ceux de A.
J'ai demandé à Koniev de reformuler le problème pour que nous soyons bien d'accord.
Je pense également qu'il s'agit d'une étude discrète.

cordialement

bisam · May 2006

Si Koniev se met à changer l'énoncé après avoir obtenu 37 réponses, où va le monde ?

PS : je plaisante... bien entendu

Je vais tatonner avec ces nouvelles données pour voir si on trouve un résultat exact ou pas (j'ai la flemme de me retaper les calculs exacts !)

koniev2 · May 2006

Chers Amis
L'énoncé ayant été photographié, scanné de nombreuses fois le texte est presque illisible.J'ai lu tout d'abord pour A : 1 homme tire 5 coups/mn et 500 coups tuent un ennemi. Pour B : 1 homme tire 6 coups/mn et fait mouche 1 fois sur 1000. Avec ces données j'ai trouvé : effectifs de départ : 96 et 21, différence finale : 91.6, différence du nb de coups tirés : 8541.
Mais troublé par la mauvaise qualité du texte j'ai lu à la loupe que le "1" était en réalité un "4" il faut donc lire sur 1000 coups 1 homme de B fait 4 fois mouche.
Avec ces nouvelles données je trouve au départ : 115 et 33, 91.77 de différence au bout de 20 mn et 8540 de différence des nb de coups.
Les tirs ont lieu à raison de 5 ou de 6 coups par mn sans plus de précision donc aléatoirement comme entre A et B.
Je comprends J. Renucci. Mais cet exo atteint déjà près de 1000 visites, s'il fallait considérer une loi de probabilité des tirs pour A et pour B je crois qu'on n'en sortirait pas.
Je pense que l'esprit de l'énoncé est de considérer l'état des troupes à la fin de chaque mn sans s'occuper de la façon dont les choses se passent dans la mn, seul le résultat à la fin de chaque mn est à considérer, la mn étant le "dt" . N'est-ce pas ce que l'on fait dans de nombreux pb de proba : désintégration de noyaux, files d'attente, ...
Le mieux serait de procéder à une certaine quantité de manips et de prendre la moyenne des résultats. Un ami ne pose-t-il pas la question ?
Le pb est à consdérer du point de vue probabiliste dès la lecture de l'énoncé : Peut-on certifier que chaque soldat va tirer 5 (ou 6) coups par mn, ou qu'il fera mouche 1 fois sur 500 ou 4 fois sur 1000 ? Ce sont des moyennes, ne l'oublions pas.
Cordialement
Koniev

Jules Renucci · May 2006

Merci Koniev

A mon avis introduire des probas est compliquer le problème.
Je pense que la solution doit confirmer exactement, et sans décimales,les chiffres 8000 et 93 qui nous sont donnés.Dans le cas contraire les données auraient été des fourchettes.
Je suis d'accord sur le fait que l'unité de temps à prendre en compte est la minute.
On pourrait toutefois considérer qu'au cours de chaque minute la ligne A tire 5 salves à intervalle de 12 secondes et que la ligne B tire 6 salves à intervalle de 10 secondes.
On aurait ainsi une répartition des tirs qui pourrait se modéliser par

A(0) A(12) A(24) A(36) A(48) A(60)
B(0) B(10) B(20) B(30) B(40) B(50) B(60)

Tirs simultanés aux instants 0, 60, 120 etc..
La ligne B tirant chaque fois avant la ligne A
A partir de ces données, essayer d'établir une loi de variation des effectifs et reporter l'application de cette loi 20 fois.
J'essaye d'avancer dans cette direction...

cordialement,

Norbert Verdier0 · May 2006

Koniev ayant réveillé notre âme balistique, je me permets de signaler un article très intéressant de Bernard Bru :
 
 PROBLÈME DE L'EFFICACITÉ DU TIR A L'ÉCOLE D'ARTILLERIE DE METZ. Aspects théoriques et expérimentaux. Bernard BRU
 
 RÉSUMÉ — Cet article décrit la façon dont était étudiée et enseignée aux futurs officiers, au milieu du19ème siècle, la question de la précision des tirs au canon et de la dispersion des points d'impact autour de la cible. Notamment, il oppose la doctrine de l'École d'Artillerie de Metz (armée de terre à, basée sur une théorie probabiliste, à celle de l'École d'Artillerie Navale de Lorient, purement empirique).
 
 On y découvrira entre autre les apports du capitaine d'artillerie Louis Marie Prosper Coste
 
 Source : <a href "http://66.102.9.104/search?q=cache:Is5P6Bgjg4QJ:www.ehess.fr/revue-msh/pdf/N136R724.pdf+balistique+Bernard+Bru&hl=fr&gl=fr&ct=clnk&cd=1"> http:www.ehess.fr/revue-msh/pdf/ … </a>
 
 Amicalement. NV

Pierre J · May 2006

Bonjour,

Une approche sans tatonnements, et plus informatique que mathématique, c'est sûr.

Rappelons les données:
A tire 5 coups par homme et par minute et tue un ennemi sur 500 coups.
B tire 6 coups par homme et par minute et tue un ennemi sur 250 coups.

Au bout de 20 minutes on constate que:
Effectif de A - effectif de B = 92, que l'on notera u(n)-v(n)=92.
Coups tirés par A - coups tirés par B = 8000, noté b*u(n)-a*v(n)=92, où n représente le nombre d'intervalles de temps en 20 minutes.
J'ai pris dt=0.0001 s d'où n =12 000 000.

Supposons, (cas hautement peu probable ) u(0)=1 et v(0)=0 (si, si...).

Après simulation, on a:
u(12 000 000)-v(12 000 000)=1.2516006
b*u(12 000 000)-a*v(12 000 000)=113.70400
avec u(12 000 000)=1.0483852 et v(12 000 000)=-0.2032154

v(n) est négatif car,de même que j'autorise les fractions d'individus et les fractions de coups tirés, j'autorise les effectifs négatifs. Ce qui a pour effet que u(n) est supérieur à u(0), v négatif créant des individus au lieu d'en tuer!

Deuxième simulation, avec u(0)=0 et v(0)=1.
Cette fois on a:
u(12 000 000)-v(12 000 000)=-1.5361022
b*u(12 000 000)-a*v(12 000 000)=-146.12185

Maintenant, si on pose le système:

{ 1.2516006 u(0)-1.5361022 v(0)=92
{ 113.70400 u(0)-146,12185 v(0)=8000

on trouve u(0)=140.348 et v(0)= 54.462

En refaisant un simulation avec ces valeurs on trouve bien u(n)-v(n)=92.00044746
et b*u(12 000 000)-a*v(12 000 000)=8000.041345

Voila, c'était juste pour vous faire part de mes élucubrations de la semaine.

Cordialement,
Pierre

Pierre J · May 2006

Bonjour,

Une approche sans tatonnements, et plus informatique que mathématique, c'est sûr.

Rappelons les données:
A tire 5 coups par homme et par minute et tue un ennemi sur 500 coups.
B tire 6 coups par homme et par minute et tue un ennemi sur 250 coups.

Au bout de 20 minutes on constate que:
Effectif de A - effectif de B = 92, que l'on notera u(n)-v(n)=92.
Coups tirés par A - coups tirés par B = 8000, noté b*u(n)-a*v(n)=92, où n représente le nombre d'intervalles de temps en 20 minutes.
J'ai pris dt=0.0001 s d'où n =12 000 000.

Supposons, (cas hautement peu probable ) u(0)=1 et v(0)=0 (si, si...).

Après simulation, on a:
u(12 000 000)-v(12 000 000)=1.2516006
b*u(12 000 000)-a*v(12 000 000)=113.70400
avec u(12 000 000)=1.0483852 et v(12 000 000)=-0.2032154

v(n) est négatif car,de même que j'autorise les fractions d'individus et les fractions de coups tirés, j'autorise les effectifs négatifs. Ce qui a pour effet que u(n) est supérieur à u(0), v négatif créant des individus au lieu d'en tuer!

Deuxième simulation, avec u(0)=0 et v(0)=1.
Cette fois on a:
u(12 000 000)-v(12 000 000)=-1.5361022
b*u(12 000 000)-a*v(12 000 000)=-146.12185

Maintenant, si on pose le système:

{ 1.2516006 u(0)-1.5361022 v(0)=92
{ 113.70400 u(0)-146,12185 v(0)=8000

on trouve u(0)=140.348 et v(0)= 54.462

En refaisant un simulation avec ces valeurs on trouve bien u(n)-v(n)=92.00044746
et b*u(12 000 000)-a*v(12 000 000)=8000.041345

Voila, c'était juste pour vous faire part de mes élucubrations de la semaine.

Cordialement,
Pierre

Jules Renucci · May 2006

Pierre, bonjour.

Tu écris :"Au bout de 20 minutes on constate que:
Effectif de A - effectif de B = 92, que l'on notera u(n)-v(n)=92.
Coups tirés par A - coups tirés par B = 8000, noté b*u(n)-a*v(n)=92, où n représente le nombre d'intervalles de temps en 20 minutes.
J'ai pris dt=0.0001 s d'où n =12 000 000."

comment peux-tu écrire simultanément
u(n)-v(n)=92
b*u(n)-a*v(n)=92

Sans doute voulais-tu écrire :a*u(n)-b*v(n)=8000

Si c'est le cas, je ne pense pas que cette égalité soit valable parceque le premier membre représente la différence des tirs à l'instant n alors que le deuxième membre est la différence du total des tirs depuis l'instant 0.

Je me trompe ?

amitiés

Pierre J · May 2006

Bonjour, Jules,

Effectivement, je voulais écrire b*u(n)-a*v(n)=8000, où n représente ici le nombre total d'intervalles, soit 12 000 000 avec un dt de 1/10 000 secondes.

J' ajoute une constatation étonnante: dans ma simulation avec 1 tirailleur dans A et 0 dans B, je trouve à l'arrivée u(12 000 000)=1.048385... , même valeur que v(12 000 000) dans la simulation avec u(0)=0 et v(0)=1. Pourtant on sait que la rapidité et la précision des 2 camps ne sont pas identiques!

Cordialement,
Pierre

PS: si un gentil modérateur passait par là, pourrait-il supprimer mon message du 05-18-06 17:58, qui fait doublon avec le suivant? Merci.
[Voilà qui est fait. AD]

Jules Renucci · May 2006

Pierre, je ne comprends toujours pas la relation
: b*u(n)-a*v(n)=8000

J'essaye de m'expliquer :
Si je prends la minute comme unité de temps

On a bien u(20)-v(20)=92 qui représente la différence des effectifs au bout de 20 mn.

En revanche le nombre 8000 représente la différence des coups de feu échangés au cours des 20 mn et non pas de ceux échangés à la 20 ème minute.
en fait 8000 = a(u(o)+u(1)+u(2)+...u(20))- b((v(o)+v(1)+v(2)+...v(20))

L'énoncé dit bien :Au bout de 20 mn, A a tiré 8000 coups de plus que B
cordialement

Jules Renucci · May 2006

Seul parmi tous, comme souvent, Oumpapah a donné la solution.
(Voir son post du 11 mai à 19h 47)
Donc il ne restait qu'à résoudre les équations données par Oump et effectuer des calculs pénibles (pour rester poli) même avec une calculette ou mieux Excel.
Ce que j'ai fait.
Voici donc les résultats :
U(0)=137,0052038
V(0)=51,59526227

U(20)=118,1853207
V(20)=26,1853207

U(20)-V(20)=92

La ligne A a tiré 12704,97077 coups
La ligne B a tiré 4704,97077 coups
La différence est 8000 coups.

Les participants de ce fil ont fait des simulations qui ont donné :
Antony : 152/ 60
bisam : 96/ 22
Koniev : 115/ 33
dido : 164/ 72
Pierre J : 140,348 / 54,462

Le champion est donc Pierre J !

Je ne sais si les prussiens étaient de bons tireurs;ils étaient certainement d'excellents calculateurs! Essayez de reprendre les équations de Oumpapah, d'en tirer les inconnues et de faire ensuite les calculs à la main.
Cordialement à tous.

Exo Ecole militaire Prusse 1912

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Bonjour!

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