distance généralisée

Albert4 · August 2005

Bonjour,

j'aimerais savoir ce que signifie la notion "distance d'un point à un sous-espace vectoriel " ?

ça marche comme dans $\R^3$ avec les plans?

comment la calcule-t-on? des exemples svp?

merci

Sylvain12 · August 2005

A priori je dirais que d(M,E)=inf(d(M,X)), où d est la distance définie sur l'espace vectoriel entier, E ton sous-espace, M le point en question et X un point de E.

Gaudio0 · August 2005

Le cas le plus général est la distance entre 2 ensembles non vides. Soient donc $A$ et $B$ ces ensembles. On a alors $$d(A,B)=inf_{x \in A}^{y \in B} d(x,y).$$

[si un modérateur pouvait placer correctement le x \in A et y \in B sous l'"inf", ce serait cool. Merci d'avance.]

Albert4 · August 2005

ok mais comment trouver l'élément A de E tel que d (M,A)= inf d(M,E) ??

Bruno · August 2005

Bonjour Albert.

Bien entendu, il faut des espaces vectoriels normés pour pouvoir parler de distance d'un point à un sous-espace affine (c'est une notion affine). Comme l'écrit Sylvain, c'est défini comme le borne inférieure des distances du point aux points du sous-espace affine.

Si l'espace est de dimension finie, cette borne inférieure est un vrai minimum et il existe un unique point du sous-espace affine pour lequel elle est atteinte en raison de la convexité des sous-espace affines et de leur caractère fermé.

Cette propriété permet de définir la projection orthogonale. sur un sous-espace affine.

Bruno

Albert4 · August 2005

ok mais concrètement ça se calcule comment une projection orthogonale?

avec des produits scalaires, des normes ...??

Bruno · August 2005

Re Albert.

\renewcommand{\ovr}[1]{\overrightarrow{#1}}

Concrètement, si tu travailles avec~$E = \R^n$ muni de son produit scalaire canonique, un hyperplan~$\mathcal H$ de~$E$
est caractérisé par un point~$M_0$ et un vecteur normal~$\vec u$ grâce à l'équation~$\ovr{M_0M} \cdot \vec u = 0$.
Soit~$A$ un point de l'espace~; la projetante est la droite passant par~$A$ de vecteur directeur~$\vec u$~; donc une
représentation paramétrique de la projetante~$D_a$ est~:
$$M \in D_a \iff \exists\,\alpha \in \R \quad M = A + \alpha\,\vec u$$

Pour trouver le projeté cherché, on doit résoudre l'équation en~$\alpha$~:
$$(\ovr{M_0A} + \alpha\,\vec u) \cdot \vec u = 0$$
En particulier, tu obtiens ainsi la distance de~$A$ à l'hyperplan~$\mathcal H$~:
$$d(A,\mathcal H) = \frac{|\ovr{M_0A} \cdot \vec u|}{\|\vec u\|}$$

Bruno

Albert4 · August 2005

merci Bruno !

en fait là j'en ai besoin ds un cadre plus général...dans l'espace des fonctions de R dans R muni du produit scalaire

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)g(x) dx$

, je dois calculer la distance d'une fonction f à l'espace des fonctions de carré intégrable ...

est ce le même raisonnement?

Albert4 · August 2005

merci Bruno !

en fait là j'en ai besoin ds un cadre plus général...dans l'espace des fonctions de R dans R muni du produit scalaire

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)g(x) dx$

, je dois calculer la distance d'une fonction f à l'espace des fonctions de carré intégrable ...

est ce le même raisonnement?

Bruno · August 2005

On est en dimension infinie... Cela change tout. A priori, s'il existe une projeté, tout baigne ; le tout c'est d'avoir ce fameux projeté !

D'abord, si tu prends des fonctions de $\R$ dans lui-même, je n'ai pas l'impression que ton produit scalaire soit défini !

Je n'ai pas non plus l'impression que ton espace des fonctions de carré intégrable soit fermé.

Bref, ou tu omets quelques hypothèses ou "la figure est sortie des limites de l'épure" comme on disait de mon temps.

Peux-tu préciser l'espace de départ sont-ce fonctions intégrables sur $\R$ ?

Bruno

Alain Debreil · August 2005

$$d(A,B)=\inf_{x \in A,y \in B} d(x,y).$$

corentin0 · August 2005

L'espace des fonctions de carré intégrable, c'est $L^2$, et il me semble bien qu'il est fermé pour la norme du produit scalaire, non?
Ca va pas ce truc, on a une norme qui n'a un sens que sur $L^2$. Si il veut calculer la distance pour cette norme, ça va être l'infini dès que la fonction n'est pas $L^2$.
Il faut repréciser l'énoncé.

Albert4 · August 2005

euh oui pardon...soyez indulgents je suis pas un pro moi!

le truc que j'ai est lacunaire...

faut calculer la distance d 'une fonction intégrable à l'espace L² ou un truc comme ça...corrigez moi si je délire !

"D'abord, si tu prends des fonctions de $ \mathbb{R}$ dans lui-même, je n'ai pas l'impression que ton produit scalaire soit défini ! "
(sic)

pourquoi ça Bruno??

corentin0 · August 2005

Si on prend l'énoncé comme tu l'as donné, il y a deux cas, qui sont tous les deux triviaux.
Soit f est dans L^2, auquel cas sa distance à L^2 c'est 0.
Soit f n'est pas dans L^2. Si on considère la norme $\|g\|=\int g^2$, on a $\|f\|=\infty$ et la distance de f à L^2 est l'infini.

Il faut donc nous dire quelle est la norme sur ton espace.

Bruno · August 2005

Bonjour Albert.

Pour l'indulgence, pas de problèmes ; tant que tu n'écris pas "c'est comme ça que le problème est posé et si tu n'es pas capable de le résoudre t'es un nul" (ça m'est déjà arrivé sur le forum;-))

Pour ma remarque, c'était juste une petite pointe pour te faire voir qu'il y a un problème dans la question telle que tu l'a posée.

Simplement, si tu prends une fonction continue quelconque définie sur $\R$, tu ne peux pas toujours en définir l'intégrale sur $\R$ tout entier : rien que pour la fonction constante égale à $1$ (qui est définie et continue sur $\R$) cela ne marche pas.

Revenons à ton problème, corentin t'a parfaitement résumé la situation. Sans précisions supplémentaires nous sommes incapables de fournir une réponse cohérente. Pour avoir un espace tel que~$\int_{\R}fgdx$ y soit une norme, il faut, au moins que cet espace soit inclus dans $L^2$ car tu es obligé de pouvoir calculer pour tous les éléments de l'espace l'intégrale $\int_{\R}f^2dx$ ; calculer la distance d'un point de cet espace à $L^2$ ne pose alors aucun problème c'est $0$ puisque ce point appartient à $L^2$.

Bruno

Arthur3 · August 2005

salut,

moi j'ai une question qui rejoint (peut être) vaguement celle d'Albert:

comment choisir une fonction f, intégrable sur [a, b], telle que

$\int_{a}^{b} f ²(x)dx$ soit le plus petit possible??

faut il raisonner avec les normes pour minimiser l'intégrale?

merci

Arthur

Bruno · August 2005

Bonjour Arthur.

Je ne sais pas moi, je prendrai $f = 0$. Comme la fonction nulle n'est pas un point isolé dans l'espace, pour tout réel strictement positif $\varepsilon$ il existe une fonction $f$ telle que $0

Arthur3 · August 2005

euh j'aurais du préciser c'est pas la fonction nulle qui m'intéresse , c'est un cas trivial.

Bruno · August 2005

D'accord Arthur, mais que penses-tu de ce que j'ai écrit après ?

Bruno

Arthur3 · August 2005

je ne comprends pas...c'est un théorème?

idée de la démonstration?

Bruno · August 2005

C'est une idée de démonstration :

Tu te donnes une fonction $g$ et tu calcules $\int_a^b\big(g(x)\big)^2dx$. Tu obtiens ainsi un certain nombre~$\varepsilon$; tu considère la boule ouverte de centre $0$ et de rayon~$\varepsilon$ ; comme la fonction nulle n'est pas isolée, il existe une fonction $f$ dans cette boule et l'on a:
$$0

Arthur3 · August 2005

ah...fort bien...

je dois t'avouer que je ne suis qu'un physicien donc moins rigoureux que toi...donc je ne pose pas les questions dans les mêmes termes...

en fait tu n'est pas sans savoir que l'énergie en physique est en f²...et on a besoin de trouver une fonction f de carré intégrable qui minimise cette énergie dans le temps genre :

$ \int_{0}^{+\infty} f²(t) dt$ Min

ça peut être une fonction (de carré intégrable) genre 1/t , ou $e^-t$ ou $e^-t²$... bref cernes-tu mon problème??

et n'oublie que je ne suis que physicien

Arthur3 · August 2005

je voulais dire $\int_{1}^{+\infty} f(t)dt$

sinon problemes en 0

GLaG · August 2005

Sans autre condition sur $f$, la réponse de Bruno est la bonne...On peut même voir ça en plus simple : si on a une fonction $f$ tel que $\int_a^b f^2 \neq 0$, et que l'on appelle $A$ cette valeur, la fonction $\sqrt{\epsilon/A} f$ a une norme qui vaut $\epsilon$....

Pour étudier un problème plus intéressant, il faut interdire à l'espace dans lequel on cherche des solutions (l'ensemble des fonction $f$ étudiées) d'être invariant par homotétie...Mais là c'est au physicien de nous donner un exemple plus concret.

Arthur3 · August 2005

c'est pour utiliser des transformées en ondelettes mais vous devez connaître ça mieux que moi !

Bruno · August 2005

Re bonjour Arthur.

Pas de chances, les ondelettes ne font pas du tout partie de mes connaissances.

En plus, ne dévalue pas les physiciens "je ne suis qu'un physicien", j'ai le plus grand respect pour ce corps de disciplines et ses spécilalistes.

Ceci dit, il me semble que tu simplifie trop le problème.

L'énergie d'un système s'exprime par une forme quadratique, nous sommes d'accord. Mais (et ce mais est de taille) cette forme quadratique dépend de nombreuses variables (souvent six) et ce que l'on cherche, si je ne m'abuse c'est à optimiser cette fameuse intégrale $\int_a^b\big(f(t)\big)^2dt$ en fonctions des contraintes liées à la substitutions aux variables de fonctions (en général inconnues) de la variable d'intégration. L'exemple que j'ai à l'esprit, c'est lorsque la fonction $f$ dépend des coordonnées d'un point, auxquelles on substitue des fonctions de la variable d'intégration, de façon à obtenir une trajectoire et résoudre le problème c'est décrire une trajectoire qui minimise notre forme quadratique.

La résolution de ce genre de problème est étudiée dans le domaine appelé "calcul des variations" les premières réponses ont été apportées au XVIII siècle par Euler (toujours lui) et ses commensaux de l'époque (d'Alembert, Bernoulli etc).

Bref, il me semble que la réponse à ta question est à trouver chez les spécialistes du calcul des variations. Personnellement, je ne peux que fouiller dans mes cours pour te ressortie le théorème d'Euler sur la question, ce qui ne t'avancera guère sur le plan pratique.

Bruno

Arthur3 · August 2005

ah oui ça me rappelle le problème du brachistochrone...effectivement résolu par Euler et Bernoulli

Sigma · August 2005

Bonjour Arthur,

Voici comment je vois ton problème. $a$ et $b$ étant deux réels, tu définis la fonctionnelle $J_{a,b}$ par $J_{a,b}(f)=\int_a^b f(t)^2 dt$.

Cette fonctionnelle est définie au moins sur $L^2([a,b])$. J'aime bien présenter cet espace comme celui &quotdes déplacements admissibles (ie d'énergie finie)" (tu peux remplacer déplacement par ce que tu veux: champs,...).

Ce qui est cool, c'est que mathématiquement cet espace est muni d'une norme qui le rend complet. Dans notre cas ça veut dire que l'on peut (par exemple) définir la distance entre une fonction est un sous ensemble de $L^2([a,b])$ (qu'on me corrige si je dis une sottise).

Maintenant pour minimiser $\int_a^b f(t)^2 dt$. Comme on te l'a dit on prend $f=0$ et c'est terminé. A mon avis, il manque une contrainte, autrement ta fonction $f$ doit certainement vérifier autre chose ce qui la place dans un sous ensemble de $L^2([a,b])$. Par exemple $f$ peut être la solution d'une EDP.

Quelle est cette condition qu'il nous manque pour te répondre?

@+

Sigma · August 2005

Bonjour Arthur,

Voici comment je vois ton problème. $a$ et $b$ étant deux réels, tu définis la fonctionnelle $J_{a,b}$ par $J_{a,b}(f)=\int_a^b f(t)^2 dt$.

Cette fonctionnelle est définie au moins sur $L^2([a,b])$. J'aime bien présenter cet espace comme celui "des déplacements admissibles (ie d'énergie finie)" (tu peux remplacer déplacement par ce que tu veux: champs,...).

Ce qui est cool, c'est que mathématiquement cet espace est muni d'une norme qui le rend complet. Dans notre cas ça veut dire que l'on peut (par exemple) définir la distance entre une fonction est un sous ensemble de $L^2([a,b])$ (qu'on me corrige si je dis une sottise).

Maintenant pour minimiser $\int_a^b f(t)^2 dt$. Comme on te l'a dit on prend $f=0$ et c'est terminé. A mon avis, il manque une contrainte, autrement ta fonction $f$ doit certainement vérifier autre chose ce qui la place dans un sous ensemble de $L^2([a,b])$. Par exemple $f$ peut être la solution d'une EDP.

Quelle est cette condition qu'il nous manque pour te répondre?

@+

Alain Debreil · August 2005

Sans autre condition sur $f$, la réponse de Bruno est la bonne... On peut même voir ça en plus simple : si on a une fonction $f$ tel que $\int_a^b f^2 \neq 0$, et que l'on appelle $A$ cette valeur, la fonction $\sqrt{\varepsilon/A} f$ a une norme qui vaut $\varepsilon$....

Pour étudier un problème plus intéressant, il faut interdire à l'espace dans lequel on cherche des solutions (l'ensemble des fonction $f$ étudiées) d'être invariant par homotétie...Mais là c'est au physicien de nous donner un exemple plus concret.

Flo15 · May 2006

bonjour.. sur le meme sujet j'ai a resoudre
inf $ \int_{0}^{1} (x²lnx-ax-b)² dx $

je sais qu'il faut utiliser la notion de distance a un sous-espace et de norme mais je ne vois pas comment faire...

Merci d'avance

Guimauve0 · May 2006

Tu te places dans le $\R$-espace vectoriel dont une base est $\{ 1, x, x^2 \log x \}$.
Cet espace est muni du produit scalaire $=\int_0^1 f(x)g(x) dx$.

Pour ton problème, il s'agit de trouver un point du sous-espace vectoriel $vect \{ 1, x \}$ qui minimise la distance au point $x^2 \log x$.
Tu as sûrement vu en cours que ce point est le projeté orthogonal de $x^2 \log x$ sur $vect \{ 1, x \}$, il te suffit donc de calculer ce projeté.

Ici il y a un souci : ta base de sev n'est pas a priori orthonormale. Il faut l'orthonormaliser, par exemple avec l'algorithme de Gramm-Schmidt ou en « bidouillant ».

Tu peux par exemple prendre $\{ 1, \sqrt{3} (2x-1) \}$ (sauf erreur de calcul de ma part).

Il ne te reste plus qu'à projeter : $\displaystyle{m = 1 + \sqrt{3} (2x-1) = -\frac{5}{72} - \frac{x}{12}}$.

J'espère ne pas m'être trompé, je n'ai pas fait d'algèbre linéaire depuis 6 mois.

Flo15 · May 2006

Merci beaucoup pour ta reponse...

Flo15 · May 2006

desolé mais j'ai encore une question sur cette exercice...
Pour l'orthonormalisation j'utilise l'algorithme de schmidt:

Je pose v1=1 , v2=X et v3=X²lnx

ensuite e0=$\frac{v1}{||v1||}$=$\frac{1}{\sqrt{}}$=1

puis e'1=v2-e0=x-1=x-1/2

Ensuite je n'ai pas compris pourquoi il ni a que 2 vecteurs dans la base orthonormé...

pour moi il reste a faire : e1=$\frac{e'1}{||e'1||}$=24(x-1/2)

et e'2=x²lnx-1-(24x-12).

Merci d'avance.

oumpapah0 · May 2006

Bonjour

Bruno

je reviens à une de tes premieres réponses..

dans un espace normé de dim finie la distance d'un point à un sous espace est bien réalisée ..mais il n'y a pas forcement unicité si la norme n'est pas stricte.. plus precisement ( bon exo pour les debutants )
on a equivalence de
1. la norme est telle que
N(a+b)=N(a)+N(b) equivaut à (a,b) liée
2.il n'y a pas de segment non reduit à un point sur la sphere unite
3.pour tout a €E et tout sous espace V on a unicite de b€V réalisant la distance de a à V

une norme verifiant ces propriétes est dite stricte
(ex les normes Np pour 1<p<oo
par contre les normes N1 et Noo ne sont pas strictes ; un debutant dessinera avec profit les spheres unites pour les normes Np dans le plan)

si E est quelconque on a aussi le concept de norme stricte (propriete 1 ou 2) par contre pour le 3 il faut rajouter V de dim finie , car on sait que meme dans un banach , par ex la distance de 0 à un hyperplan affine meme fermé peut ne pas etre atteinte, on a un ex simple avec co l'espace des suites réelles de limite nulle muni de la norme infinie avec H hyperplan
fermé d'equation f(x)=1 avex f(x) somme de la serie de terme géneral
x(n)/2^(n+1) si x est defini par la suite x(n) de limite nulle :f est continue et la distance de 0 à H vaut 1 et n'est pas atteinte

bien sur dans un hilbert tout baigne
(ou dans un prehilbertien en travaillant avec V de dim finie)

Oump.

Bruno · May 2006

Merci Oump.

Je suis trop euclidien et omets trop souvent des cas plus généraux. Mea Culpa !

Bruno

distance généralisée

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Bonjour!

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