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Averse0 · May 2006

Bonjour je n'arrive pas à savoir où est l'erreur :

$z\in\C$ et $n\in\N$ $n\leq 2^{n}$ donc $|z|^{n}\leq |z|^{2^{n}}$ et si on somme (a-t-on le droit?)...

D'un autre côté $\sum_{k=0}^{n}|z|^{2^{k}}\leq \sum_{k=0}^{2^{n}}|z|^{k}$ j'ai l'impression qu'on peut obtenir l'inégalité inverse.

Une autre question : est ce que la dernière inégalité suffit à montrer que $\sum_{n\geq 0}z^{2^{n}}$ a un rayon de convergence $\geq 1$ ?

gégé5 · May 2006

Je ne comprends pas la première inégalité : elle ne me semble valable que pour les nombres complexes z de module supérieur à 1.
De plus je ne comprends pas la nature de la première question.

En gros, je ne fais rien avancer, désolé

Guego0 · May 2006

"$ z\in\mathbb{C}$ et $ n\in\mathbb{N}$ $ n\leq 2^{n}$ donc $ \vert z\vert^{n}\leq \vert z\vert^{2^{n}}$"

Ceci n'est vrai que si $|z| \geq 1$, et dans ce cas, la série est divergente...

Averse0 · May 2006

Oui bien sûr, Merci Guego. Et pour l'autre question c'est bon ?

Guego0 · May 2006

Oui, pour l'autre question, c'est bon.

Averse0 · May 2006

Merci* Guego vous êtes symathique et attentif.

oumpapah0 · May 2006

bonsoir

pour z=1 la suite est bornée et ne converge pas vers 0 ..donc le rayon vaut 1 sans autre forme de proces..
( je rappelle une fois de plus aux débutants que pour |z|>R on a grossiere divergence
( suite anz^n non bornée) et que pour |z|<R on a absolue convergence
donc si pour un z on n'est pas dans l'un de ces deux cas on a mis la main sur R=|z| )
c'est la premiere rem qu'on fait quand on étudie les methodes de recherche de rayon..

Oump.

Averse0 · May 2006

Et pour la série de terme général $\frac{z^{2^{n}}}{2^{n^{2}}}$ ?

Merci d'avance. Averse

ptitloupfouchou · May 2006

a premiere vue idem me semble rayon de conv de 1 je me trompe pas?

oumpapah0 · May 2006

Bonsoir

pour z=1 convergence banale : R>=1

pour z=2^(1/p ) avec p entier >1
le terme général est egal à
2^(2^n/p- n²)

l'exposant tend vers =oo avec n d'ou div grossiere
donc R<= 2^(1/p) et cela pour tout p

comme 2^(1/p) tend vers 1 si p tend vers oo finalement R<=1

( le resultat ne depend pas toujours de la "1ere rem faite aux débutants"
mais ici la demarche reste simple ..)

Oump.

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