un contre-exemple

hayat0 · May 2006

Bonjour.je n'ai pas bien compris la solution d'un exercice que j'ai relevé dans un solutionnaire (tome 1 edition vuibert A.Combes term CE)
Soit (A,+;.) un anneau non commutatif. On definit la loi de composition interne T par: pour tous x, y de A: x T y = xy-yx.
Montrer que T n'est pas associative.
En voici la reponse proposeé:
pour tous x,yet z de A:
xT(yTz)=.....=xyz-xzy-yzx+zyx et
(xTy)Tz=.....=xyz-yxz-zxy+zyx
et comme l'anneau n'est pas commutatif , on n'a pas en general xzy+yzx=yxz+zxy ce qui achève la demonstration.
moi ; ce que je veux comprendre, est ce qu'on peut pas exhiber un triplet (x;y;z) de AxAxA verifiant xT(yTz)#(xTy)Tz ; sinon qu'est ce qui garantit son existence ?
Merci et bon apres midi.

lebendre · May 2006

A mon avis, si tu donnes un contre-exemple qui ne vérifie pas l'associativité de la composition interne T, ça suffit!
Mais est-ce que connais les éléments de A, afin d'en prendre trois? Parce que si on te dis juste que A est un anneau, et qu'on ne te dis rien d'autre sur ses éléments, je ne sais pas quels éléments particuliers tu veux prendre puisque ça reste abstrait...

GERARD · May 2006

Hayat, tu as bien raison de te poser des questions. La solution proposée n'est pas bonne ! De "et comme l'anneau n'est pas commutatif , on n'a pas en general xzy+yzx=yxz+zxy" on ne peut tirer comme conclusion que "$\underline{ En général}$ T n'est pas associative."

En fait, on peut traiter l'égalité xzy+yzx=yxz+zxy pour en tirer y(zx-xz) = (xz-zx)y, et il reste à prouver que cette égalité est fausse $\underline{ au moins une fois}$. Et ça ne me paraît pas très évident !

Cordialement

hayat0 · May 2006

bonjour; effectivement Gerard, l'egalité à traiter c'est bien yT(zTx)=0; qui ne donne apparement rien.
Amicalement

hayat0 · May 2006

bonsoir, si la loi T n'est vraiment pas associative , je pense qu'on peut trouver un contre exemple en suivant cette voie:
il existe a et b de A tel que ab#ba ; c'est a dire tel que aTb#0.et il me faut maintenant x.y.et z construits a priori ; à partir de a et b verifiant
(xTy)Tz#0 et là je suis toujours bloqueé....
Amicalement votre

Eric · May 2006

Si la loi est associative, elle l'est pour tout anneau $A$ non commutatif. Essaie donc avec un anneau de matrices, la taille $2\times2$ devrait suffire (au passage on reconnait que la loi étudiée est en fait le crochet de Lie).

hayat0 · May 2006

Bonsoir Eric ,si je comprends bien l'anneau des matrices servira peut-être à montrer que l'énoncé de mon exercice est faux, j'avais pensé à ça, mais là aussi ce n'est pas évident
Merci.

oumpapah0 · May 2006

Bonjour

La loi T verifie :

xT(yTz)+yT(zTx)+zT(xTy) =0 et yTx=-xTy

Par suite montrer la non associativité revient à chercher u,v, w tels que uT(vTw) #0.
C'est vrai pour le crochet de Lie.
Dans le cas général, en supposant A non commutatif on dispose seulement à priori de x et y tels que xTy#0 et rien ne dit qu'il existe un troisième larron z tel que (xTy)Tz soit non nul..
( et on peut se demander s'il existe un anneau non commutatif avec la loi T associative... mais bof)

En tout cas l'exemple de rédaction de ton bouquin d'exo montre qu'il ne vaut pas tripette..

Oump.

hayat0 · May 2006

bonjour; maintenant je suis rassurée , puisque je vois que le sujet depasse largement le niveau des classes preparatoires.
merci, et excellente journeé.

un contre-exemple

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