Applications linéaires continues

Pierre · April 2006

Bonsoir à toutes et à tous.

Tout le monde sait que si E est un espace vectoriel de dimension finie, et F un espace vectoriel de dimension quelconque, alors, toute application linéaire définie sur E et à valeurs dans F est continue.

Quant est-il de la réciproque ? i.e si on a deux espaces vectoriels E et F (avec F de dimension qualconque a priori) tels que toute application lineaire de E dans F est continue, alors, est-ce que E est de dimension finie ?

J'ai oublié de préciser que les dimensions sont prises sur le même corps à chaque fois (fini ou non, et il faut peut être distinguer certains cas, je ne sais pas).

Bonne soirée.
Merci d'avance
Pierre

OA · April 2006

Salut!

Sauf erreur, il me semble que oui.
Supposons E de dimension infinie, construisons une application linéaire non continue.
Prend un vecteur de F, v, de norme non nulle.
Soit (ei) une base de E (elle existe car E est supposé de dimension infinie), tant qu'à faire de norme 1.
Je prend une sous famille dénombrable (fn) de (ei).
Posons alors pour tout n>0, u(fn) = n.v. On décide alors des valeurs de u en ei par (par exemple) u(ei) = v.
Je prolonge u par linéarité sur la base.

Tous les fn appartiennent à la boule unité, et pourtant tu as :

|| u(fn) || = n ||v||. Si n tend vers + oo, les valeurs de u sur des vecteurs particuliers de la boule unité ne sont pas bornées, donc u ne peut être continue.

Cette construction est bien impossible en dimension finie.

Pierre · May 2006

Bonjour OA,

excuse moi de répondre tardivement.
Il n'y a pas un souci quand tu dis que la base existe car E est de dimension infinie ? C'est le contraire normalement : E est de dimension finie, donc E admet une base.

Sur le fond je suis d'accord, vaut mieux raisonner par l'absurde.

@+
Pierre.

oumpapah0 · May 2006

Bonsoir,

il faut arreter de se bloquer des qu'on evoque l'existence de bases
dans tout Kev..

Oump.

Pierre · May 2006

Bonsoir Oumpapah,

Je ne comprends pas très bien ta remarque. Tu peux être plus explicite ? Tu démontres ceci à l'aide de l'axiome du choix ?

Pierre

geo · May 2006

On démontre l'existence de base en dim infinie à l'aide du lemme de Zorn
Donc avec l'axiome du choix va voir dans le Gostiaux volume1

oumpapah0 · May 2006

Re

Oui, on utilise l'axiome du choix (équivalent à Zorn), constamment utilisé en maths "usuelles", même parfois sans s'en apercevoir...

oump.

Pilz · May 2006

Une petite question, pour montrer que compact implique fermé dans un espace séparé utilise-t-on l' axiome du choix ?

Car dans la preuve la plus naturelle il semble intervenir...

okynox · May 2006

Il me semble en effet que, dans le cas général, il faut utiliser l'axiome du choix : il nous faut effectuer, pour un point x extérieur au compact et pour tout point y du compact, un choix de deux ouverts séparant ces points x et y. On a donc besoin de l'axiome du choix dans cette démonstration.
S'il y a un moyen "déterministe" de choisir ces ouverts, par exemple si l'espace est métrique, alors il n'y en a pas besoin.

Pilz · May 2006

Donc, c'est bien la preuve que l'on utilise fréquemment l'axiome du choix sans s'en rendre compte... Car on utilise très souvent c'est compact donc fermé

oumpapah0 · May 2006

Re

Là je ne pense pas ! Quand on écrit "quel que soient x dans.. et y dans ..etc"
on n'utilise pas l'axiome du choix !

(Il intervient lorsqu'on prétend définir une "infinité" de choix :
pour moi la meilleure formulation de l'axiome du choix est celle de Bourbaki:

Si A est une partie de ExF telle que la projection sur E de A est égale à E alors il existe une partie G de A graphe d'une application de E dans F

Bref "on choisit" pour tout x de E un élément de A de projection x
concrètement pour moi, je conçois que l'ensemble de ces choix peut être perçu par les collegues sans ambiguité, bref ils voient le même graphe que moi.. interprétation personnelle que je n'impose à personne, chacun à sa façon de "sentir" les choses...

Oump.

Pilz · May 2006

Pour dire quelque soit $x$ et $y$ dans... je suis d' accord qu'il n' y a pas d' axiome du choix .Mais lorsque l'on choisit des ouverts séparant ces points on utilise bien l' axiome du choix?

oumpapah0 · May 2006

Ben non à mon avis car il s'agit d'un choix fini..

Bruno · May 2006

Pas d'accord Oump.

Dans la preuve d'Okynox on a sournoisement besoin de l'axiome de choix pour assurer que l'on obtient un recouvrement du compact.

À chaque point du compact on associe un ouvert, mais, si le compact est infini, il faut l'axiome de choix pour assurer qu'au bout on a une famille d'ouverts indexée par ce compact.

Bruno

oumpapah0 · May 2006

Bonjour,

oui ,je bats ma coulpe , je me suis arrete trop vite car il y a une "infinité " à priori de choix à faire pour obtenir un recouvrement ouvert..

Oump.

Applications linéaires continues

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Bonjour!

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