exponentielle de matrice

corentin0 · May 2006

Bonsoir;
J'accroche sur cette égalité:
on considère $A:\R^d\longrightarrow \mathcal{M}_n(\R)$ telle que $\forall\,t\geq 0,\ \xi\in\R^d:\ \|e^{tA(\xi)}\|\leq C$, alors pour tout complexe $z$ de partie réelle strictement positive et tout $\xi\in\R^d$, $\displaystyle (A-zI_n)\int_0^{\infty}e^{-zt}e^{At}dt=-I_n$.
L'auteur dit que puisque l'intégrale a un sens l'égalité est immédiate. Bon, peut être. Pourquoi? (formellement, je peux y croire)

coincoin3 · May 2006

Salut,

Tu as vu cette formule ou ???
Ca existe des intégrales de matrice qui donnent des matrices ???

Yvarentréengare · May 2006

Bonjour Corentin,

Commencez par $A$ constant, et montrez que l'hypothèse est équivalente à ce que les valeurs propes de $A$ soient dans le demi plan $Re(z)>0$. Ensuite cela découle de ce que l'on appelle le calcul fonctionnel élémentaire. Plus précisément,

$$ \Psi ^{-1}=\int_0^{\infty} e^{-t\Psi} dt $$

Pilz · May 2006

Oui Coincoin, cela existe c'est comme si tu intègrais les coefficients termes à termes.

Ce genre de formule me fait penser à la preuve de Lafontaine pour le caractère $C^{\infty}$ de l' exponentielle de matrice

jean Lismonde0 · May 2006

bonjour

l'intégrale porte sur la variable réelle t

exp(At) = [exp(A)]^t et donc exp(-tzI-tA) est une exponentielle d'une matrice carrée parfaitement explicitable en fonction de A et des valeurs propres de A;

par exemple si r1 et r2 sont valeurs propres de A matrice 2x2 alors

exp(A)=I.[r1.exp(r2) - r2.exp(r1)]/(r1-r2) + A.[exp(r1) - exp(r2)]/(r1-r2)

en posant u.I=t(zI - A) (variables d'intégration réelles dont les coefficients sont des matrices carrées)
on trouve l'intégrale égale à (zI - A)^(-1)

et donc le premier membre de l'identité est bien égale à (A - zI).(zI - A)^(-1) soit -I

cordialement

Mauricio4 · May 2006

Salut Corentin,
quel est le probleme la fonction s'integre explicitement (pourvu que tu corriges z par zI_n)?
M.

P.Fradin · May 2006

Les valeurs propres de $A$ sont plutôt dans le demi-plan $Re(z)

corentin0 · May 2006

Merci, j'ai fait le calcul avec l'indication de P.Fradin. C'est vrai qu'en fait c'était assez évident. (on dira qu'il était tard)

exponentielle de matrice

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion