sous groupe normal

Bonsoir
voilà j'ai toujours encore du mal à comprendre cette démo :

On part d'un groupe G de type fini et on suppose qu'il contient un sous groupe infini cyclique d'indice fini. On le note A.
On note ensuite K l'intersection de tous les conjugués de A.
On note aussi H le centralisateur de K dans G.
Donc [G:H]<=2, jusque là c'est bon.
Le centre de H, Z(H) est donc aussi un sous groupe d'indice fini.ça c'est bon aussi.

Puis là ça se complique:

Il faut utiliser un théorème de Schur (je n'ai même pas réussi à trouver son énoncé ) qui permet de dire que le commutateur de G noté H' est fini .

Puis on nous dit que H/H' est de rang 1 et je ne sais pas vraiment ce que cela signifie, peut etre engendré par 1 seul élément?

Et donc il y aurait un epimorphisme Phi : H->Z avec un noyeau fini noté L qui serait le groupe de torsion de H?Mais je ne sais pas pourquoi

On suppose ensuite que G est différent de H et donc H est normal dans G (ça c'est bon car H est d'indice 2) et L est un sous groupe caractéristique de H (comme L est le sous-groupe de torsion de H .) Ainsi L est normal dans G (ça c'est bon aussi)

Et on aurait la suite exacte :(je ne sais pas comment la prouver)
1->H/L->G/L->Z2->1.

G/L ne peut pas être abélien (car H' est différent de L) donc G/L est isom à Z2*Z2 Et ça non plus je ne sais pas le trouver.

Si quelqu'un a des idées ou des indications à me donner je serais trés heureuse de les lire.

Merci d'avance pour votre aide