immersion

Voici le Latex corrigé (il manquait juste un \$ vers la fin).
J'ai légèrement modifié la mise en page pour la lisibilité... j'espère que l'auteur m'excusera de cette liberté !

---

Bonjour\\
Rien de bien original, j'essaye juste de rédiger une démo soignée du théorème d'immersion. J'en ai vu plein d'exemplaires mais aucune ne me satisfait totalement. J'essaye dans écrire une dans les moindres détails (et encore je crois que je n'écris pas tout). C'est un exercice de rédaction pour l'essentiel. Je me suis arrêté au premier endroit où j'ai buté.\\
Celle que je présente est inspirée du Tosel. Elle s'intéresse au point 0 et suppose que f(0)=0\\
\\
HYPOTHESES:\\
f de classe $C^k$ de $\R^n$ dans $\R^p$\\
df(0) injective\\
\\
CONCLUSION:\\
Il existe un $C^k$ difféomorphisme local h de $\R^p$ au voisinage de 0 tel qu'au voisinage de 0 hof coincide avec une injection linéaire j\\
\\
DEMO:\\
On identifiera $\R^p$ à $\R^n\times\R^{p-n}$ et tous les couples seront de cette forme.\\
a) Quitte à composer à gauche par un élément de $GL(\R^p)$ on peut supposer que $df(0):x\mapsto(x,0)$\\
En effet : d'abord on réordonne les coordonnées de manière à ce que
$df(0):x\mapsto(A(x),0)$ c'est-à-dire qu'on prend pour base de $\R^n$ une base de l'image de df(0).
Posons $k=A^{-1}$ (A est inversible puisque injective et à valeurs dans un espace de même dimension) qui est un élément de $GL(\R^n)$. On sait qu'un tel élément est un $\C^{\infty}$-difféomorphisme de $\R^p$ au voisinage de 0.
On a $kodf(0):x\mapsto(x,0)$. Donc si l'on a démontré le th. pour $kof$,
on a $ho(kof)=j$ soit $(hok)of=j$ et $hok$ est un bien $C^k$-difféomorphisme au voisinage de 0 (comme composée...).\\
b) On pose $f=(f_1,f_2)$.
On a alors $df_1(0)=Id_{\R^n}$. \\
c) On pose $\phi:(x,y)\mapsto(f_1(x),f_2(x)+y)$.\\
$\phi$ est un $C^k$ difféo. au voisinage de 0. Comment le justifier proprement?
Normalement d'apèrs un th. que j'ai redémontré dans un autre post il faudrait démontrer que $\phi$ est de classe $C^k$ et que c'est un $C^1$ difféo.

<BR>Je ne vois pas ce qui cloche dans ce que tu as dit. Ce qui te dérange c'est que ca ressemble au serpent qui se mord la queue, pour démontrer ton théorème d'immersion tu devrais faire appel à lui. Mais où le Tosel place-t-il chronologiquement le théorème d'inversion locale ? Avant je suppose.
<BR>
<BR>La présentation à laquelle je suis habitué, c'est inversion locale puis corollaire (rang constant).<BR>

Pour le point (c), le fait que $\phi$ soit un diffeo vient du fait que $f_1$ l'est (apres pour trouver $y$ c'est juste une soustraction). Mais je ne vois pas comment eviter l'inversion locale pour $f_1$.