Surfaces de Riemann

Philemon semble vouloir relier la propriete de ne pas avoir de champ de vecteur non nul avec la propriete d'hyperbolicite de la courbe.
Il n'a pas tort: en genre plus grand que 2, la courbe est une variete {\bf{hyperbolique}} (car son fibre cotangent est {\bf{ample}}), et n'admet pas de fonction entiere $f: \mathbb{C} ---> X$. Par contre si $X$ est elliptique son revetement universel est $\mathbb{C}$, donc $X$ n'est pas hyperbolique.

On peut se demander a premiere vue quel lien y aurait il entre des formes differentielles sur la courbe $X$ et des fonctions de $\mathbb{C}$ dans $X$; c'est que si l'on a une forme differentielle $\omega \in \Omega^{1}({X})$ et une fonction $f: \mathbb{C} ---> X$, on a la forme differentielle pull-back $f^* (\omega)$ sur $\mathbb{C}$. Or cette derniere doit etre necessairement triviale. En fait $\mathbb{C}$, et a plus forte raison son complete $\mathbf{P}^{1}_{\mathbb{C}}$, sont les archetypes des courbes qui n'ont pas de formes differentielles (autres que triviales).

Remarque culturelle: il y a toute une theorie de l'hyperbolicite des varietes en dimension superieure qui a ete developpee ces trentes dernieres annees, notamment par Kobayashi et l'ecole japonaise. La propriete d'hyperbolicite peut-etre aussi approch\'ee sous l'angle de la definition de courbure, et c'est l'hyperbolicite au sens de Brody (je crois). Mais justement un theoreme fondamental dit que c'est equivalent a l'hyperbolicite de Kobayashi.

Excuse moi Philemon,

je voulais dire que le fibre tangent sur $\mathbf{C}$ est trivial. Sinon les formes differentielles holomorphes sont determinees par $f(z) d z$, o\`u $f$ est une fonctions holomorphe. Il ne faut pas utiliser les formes differentielles mais les champs de vecteurs: $\mathbb{C}$ et $\mathbf{P}^{1}_{\mathbb{C}}$ ont des champs de vecteurs, par contre les courbes projectives de genre $\geq 2$ n'en ont pas.

&quotsi $f^* \omega = 0$, peut-on en déduire que $f$ est constante ? "

Si $f$ n'etait pas constante, il existerait un ouvert de points pour lesquels la differentielle est de rang 1 (i.e non nulle). Alors si $\omega$ est non nulle, son pullback qui est $\alpha (z) f^{'}(z) dz$, avec $\alpha$ une fonction holomorphe non nulle, serait non nul.

&quotpar exemple $\mathbb{S}^1$ admet des champs de vecteurs holomorphes non identiquement nul... "

Attention, le cercle unite est une variete reelle, pas complexe (si c'est bien de lui qu'il s'agit).

Pardon, j'ai dit une bêtise, je corrige :
Parmi les surfaces de Riemann compactes seules les courbes elliptiques et la sphère admettent des champs de vecteurs holomorphes non identiquement nuls (car la classe anticanonique d'une surface de Riemann de genre positive est négative).
M.

Bonjour,


Je me place sur la sphere de Riemann.


Je veut prouver qu'une region $D_1$ est simplement connexe, pour cela, je prends un voisinage circulaire $N$ouvert d'un point z_1 qui es trractif, tels que :
1. N est envoye sur lui meme par une application $ f(z)= z^2+a/z $ où $a$ est un reel positif strictement.
2. Tous les points de $N$ sont attires vers $z_1$.
Je considere la composante connexe de $f^(-1)(N)$ qui contient $N$...(*)
On pose $D_1$ une preimage de N ( apres avoir reiterer (*) plusieurs fois).
Ma question est Comment on montre que $D_1$ est simplement connexe?
Moi je pense au fait qu'une application de la sphere de Riemann sur elle meme est un revetement universel.
Que pensez vous?
Merci bien