hyperbole

si tu prends les sommets de l'hyperbole situés sur l'axe focal (perpendiculaire aux directrices), tu sais que les branches de l'hyperbole sont situés à l'exterieur de la bande delimitee par les perpendicualires a l'axe focal passant par les sommets ( alors que pour l'ellipse elle est a l'interieur de cette bande et les directrices a l'exterieur).

Or les directrices sont dans cette bande dans le cas de l'hyperbole.

voila

Bonjour,

Si tu reprends la définition monofocale d'une hyperbole, tu as D d'équation x=a^2/c=a/e avec F(c,0) et e=c/a>1; Un point d'intersection de l'hyperbole avec l'axe des abscisses A est (a,0) et tu as x=a/e<a soit A situé entre D et F et tu peux montrer que l'hyperbole ne coupe jamais une directrice et elle reste donc dans le plan privé de la bande situé entre les deux directrice.

Bonjour Séverine.

Il y a une démonstration directe très simple et projective donc qui traite les trois cas affines en même temps mais elle est hors de porté du capes.

Je te la donne pour le plaisir :

{\bf Théorème.} {\it Soit $T$ un un point de la directrice associée au foyer $F$, alors la droite $(TF)$ est perpendiculaire à la polaire de $T$.}

La démonstration est très simple mais elle repose sur la définition projective des foyers : ce sont les points d'où l'on mène à la conique deux tangentes isotropes.

C'est une caractéristique des foyers. Appliquons ce théorème : soit $M$ un point de la conique, sa polaire est la tangente à la conique en $M$. Puisque le point $T$ appartient à la polaire de $M$, la polaire de $T$ passe par $M$ et comme $T$ appartient à la directrice qui est la polaire de $F$, la polaire de $T$ passe par $F$ ; donc la polaire de $T$ est la droite $(FM)$ et on applique le théorème.

Je reviens à ton problème. Tu es dans l'exposé $56$. La procédure est claire : on te demandes d'utiliser les représentations paramétriques coniques pour construire les tangentes et normales aux coniques. Je te conseille de rester strictement dans ce cadre et de montrer les résultats, pour les coniques à centre, par la méthode cinématique. Le cas de la parabole est à évacuer aussi rapidement que possible (quel paramétrage : "Je fais $x = t$" :-)).

Bruno