surjectivité de z*exp(z)

Pilz · May 2006

salut à tous,

Je n' arrive pas à montrer que $f(z)=z*exp(z)$ est surjective de $\C$ dans $\C$...

(certains reconnaitrons surement d' où vient l' exo...)

Merci

Pilz · May 2006

je précise bien sûr sans utiliser le théorème de Picard , sinon c'est triché

P.Fradin3 · May 2006

Je m'avance peut-être un peu beaucoup, mais j'ai l'impression qu'il est plus facile de montrer que l'équation $e^u+u=a+ib$ avec $-\pi\leq b

Laur-Enzo · May 2006

C'est trop dur. laissez tomber.

Pilz · May 2006

C'est exactement ceque je me suis dit Laur-Enzo c'est pour ça que j' ai posé la question sur ce forum...(ce message a aussi pour but de faire remonter le post!)

Mikaël2 · May 2006

et en passant en fonction de deux variables a valeur dans $\R^2$, ca ne donne rien ?

moi j'ai la flemme de faire un truc pareil, mais il y a peut etre des motives

Mauricio4 · May 2006

Pilz, je n'ai pas trop de temps. Mais est-ce qu'il ne faut pas simplement remarquer que ta fonction est solution d'une equation diff d'ordre 1 dont le seul pole est en l'origine?
M.

fb0 · May 2006

Si tu écris le développement en série entière de $f(z) =z e^z$ en $0$, il ne suffit pas ensuite d'inverser, c'est-à-dire d'exprimer $z$ en fonction de $f$ ?

Tu peux toujours le faire, au moins formellement, car le développement commence par $z + O(z^2)$. Reste à voir ensuite le rayon de convergence de la nouvelle série entière.

P.Fradin3 · May 2006

Avec l'indication que j'avais donnée, on peut s'en sortir!

Soit $ze^z=Z$ ($Z$ donné), on pose $Z=e^{a+ib}$ avec $a$ réel et $b\in]-\pi;\pi]$. On regarde l'équation $u+e^u=a+ib$ (il suffira ensuite de rendre $z=e^u$). En posant $u=x+iy$ ($x,y$ réels) on obtient: $x+e^x\cos(y)=a$ et $y+e^x\sin(y)=b$.

Si $b=0$ on prend $y=0$ et $x$ solution de $t+e^t=a$.

Si $0

Pilz · May 2006

Merci beaucoup, P.Fradin

P.Fradin · May 2006

Y a pas de quoi!

Mais s'il y a une preuve plus élégante, je suis preneur.

surjectivité de z*exp(z)

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