aut(S6) =/= int(S6)

bs1
bs1
dans Algèbre
Bonjour,
Pour leçon agreg sur les groupes symétriques:

Pour n#6, tout automorphisme est intérieur : aut(Sn) = int(Sn)
de plus, pour n>=3, on a : aut(Sn) isomorphe à Sn
dans le cas de S6, int(S6) est un sous-groupe d'indice 2 de aut(S6)

J'ai fait un pb démontrant ce dernier résultat surprenant mais j'ai néanmoins du mal à exhiber concrètement un de ces 720 automorphismes intérieurs ; il apparaît qu'un tel automorphisme intérieur transforme une transposition en un produit de 3 transpositions disjointes. Je surnage ...

Merci de votre aide

Réponses

  • Guego0
    Guego0
    Tu peux jeter un oeil à ceci :
    <http://www.umpa.ens-lyon.fr/~hdavaux/AGREG-S6.ps&gt;
  • Fadalbalapoumbala
    Fadalbalapoumbala
    "il apparaît qu'un tel automorphisme intérieur transforme une transposition en un produit de 3 transpositions disjointes"

    ???
    comprends pas, quand on prend le conjugue d'un cycle par une permutation, ca ne reste pas un cycle?
    Merci de me corriger si necessaire.
  • bs1
    bs1
    bonjour
    c'est pour les modérateurs
    dans le titre ,c'est mieux si vous pouvez écrire le signe différent plutôt que le signe #(cardinal)
    merci , après , pouvez supprimer ce message
  • bisam
    bisam
    Je pense qu'il voulait dire "...automorphisme NON intérieur..." ou "...automorphisme EXTERIEUR..."
  • Nico47
    Nico47
    Bonjour bs

    Les classes de conjugaison sont conservees par automorphisme. Chaque classe de conjugaison correspond a un type de decomposition en cycles disjoints. De plus l'ordre d'un element est conserve par automorphisme.
    Ainsi la classe de conjugaison formee par les transpositions s'envoie sur une autre classe de conjugaison d'elements d'ordre 2. Il se trouve que dans S6 la classe des produits disjoints de 3 transpositions (appeles parfois 'pseudo-transpositions') a meme cardinal que la classe des transpositions. On peut ainsi construire des automorphismes de S6 en envoyant un certain nombre de transpositions (engendrant S6; (12), (23), (34), (45), (56) par exemple) sur des pseudo-transpositions.

    Nico
  • bs1
    bs1
    bonjour,
    merci pour vos messages; j'ai aussi relu Perrin et refait le pb

    on a:
    Aut(S6) isomorphe à S6 donc d'ordre 720
    Int(S6) ss-groupe de Aut(S6) d'indice 2

    il reste donc 360 éléments appartenant à { Aut(S6) \ Int(S6) }; ce sont les automorphismes "extérieurs".

    la classe des transpositions de S6 comprend 15 éléments d'ordre 2.
    la classe des tri-transpositions ( ou pseudo-transpositions ) de S6 comprend aussi 15 élémets d'ordre 2

    chaque automorphisme "extérieur" transforme la classe de conjugaison des transpositions en la classe des pseudo-transpositions.
    (360=15 x 24 ) ; mais comment les déterminer ?

    par exemple r de Aut(S6) qui vérifie r(1,2)=(2,3)(1,5)(4,6) est extérieure (le pb demandait de l'admettre) mais comment construire les autres?
    c'est peut-être trop compliqué

    je ne sais pas si je suis clair, merci
  • bs1
    bs1
    merci guégo ,mais
    ton fichier est trop compliqué pour mon micro, car il me dit qu'il n'arrive pas à le lire.
  • Hors Ligne
    Hors Ligne
    Bravo Nico pour ta réponse à la fois super-synthétique et super-claire!
  • Fadalbalapoumbala
    Fadalbalapoumbala
    La reponse de nico resume le paragraphe 3.1 du fichier ps d'Helene Davaux.


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  • split0
    split0
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