Bientôt l'oral

gamdegam
gamdegam
dans Algèbre
BONJOUR,

Voici un exercice d'oral.

La matrice de Jordan $J_n$ de taille $n\times n$ est-elle limite d'une suite de matrices $(A_k)$, où les décompositions de Dunford $A_k=D_k+N_k$ de $A_k$ vérifient pour tout entier $k$ $${\rm rang}(D_k)={\rm rang}(N_k) ?$$

Réponses

  • nico8
    nico8
    salut,

    tes matrices $A_k$ sont de rang au plus n-1, ca m'etonnerait donc qu'elles puissent converger vers une matrice de rang n
  • Yvarentréengare
    Yvarentréengare
    Bonjour nico,

    La matrice $J_n$ est de rang $n-1$.

    Votre argument marche pour $I_n$.
  • nico8
    nico8
    desole j'avais mal compris
    mais il suffit de prendre les matrices $J_n+\frac{1}{k}.D$ ou D est une matrice diagonale de rang n-1

    (ou alors je dis encore une betise ?)
  • Yvarentréengare
    Yvarentréengare
    Les matrices qui commutent avec $J_n$ sont les polynômes en $J_n$. Elles ont donc une diagonale scalaire...

    De surcroît, si elles devaient être diagonalisables, elles seraient carrément scalaires.
  • nico8
    nico8
    forcement si je zappe la moitie des hypotheses :-/
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