homéomorphisme

Bonjour,

J'ai un exercice ou il faut montrer qu'un arc fermé simple est homéomorphe à un cercle.

J'arrive à montrer que l'arc privé d' un point est homéomorphe à un cercle privé d'un point mais je n'y arrive pas en rajoutant ce point.

Si vous pouviez me donner une petite indication...

Merci d'avance

Réponses

  • bonjour,
    j'ai du mal à te suivre : par le théorème de Jordan, dans ton plan (que je suppose connexe) tu as d'un côté un arc fermé simple (donc une composante composante connexe) et de l'autre côté une cercle simple (donc 2 composante connexes). Or les homéomorphismes (si je me rapelle bien) conservent le nombre de c.c.. Où est le problème??
  • Je ne connais pas jordan mais il me semble que ca marche que dans $\R^{2}$ or ici E est un espace topologique quelconque disons séparé
    d' autre part dans le contexte de la question ca doit se faire sans jordan


    Précisons les définitions

    Pour moi un arcs fermé simple

    c' est une application $c:\lbrack t_{0};t_{1}\rbrack \longrightarrow E$
    telle que $c(t_{0})=c(t_{1})$ et telle que la restriction de $c$ à $\lbrack t_{0};t_{1}\lbrack$ soit injective.

    Donc quand j' enlève un point à $$ j' l' image de l' intervalle par c ai une seule composante connexe de même pour un cercle.
  • C'est vrai ça ! Je croyais pourtant avoir trouvé quelque chose...

    1ere étape : homémorphisme arc de cercle -> droite
    Avec une application 'point de vue' : si O est le centre de la corde joignant les deux extrémités de l'arc, D la droite tangente à l'arc en son milieu, on associe à un point M de l'arc le point à l'intersection de (OM) et D.

    2eme étape : homéomorphisme droite->arc de cercle
    Avec une inversion de centre O par exemple

    Mais ça ne va pas car les deux extrémités de l'arc ont une même image (le point O).

    En effet un tel homéomorphisme ne semble pas exister...
    Une autre confirmation est qu'il devrait également mettre en bijection les frontières, or celle de l'arc a deux éléments mais celle du cercle est vide.
  • Oh oui, au temps pour moi, j'ai mal compris la question!
    Je pensais que ton arc était non fermé! Oublie ma remarque stupide, en attendant je cherche une preuve de ton problème

    r
  • Ok, il y avait un malentendu sur le mot 'arc fermé' ...

    Dans ce cas tu peux considérer l'application réciproque de c restreinte à [t0,t1[ puis envoyer [t0,t1[ sur [0,2$\pi$[ puis enfin sur un cercle, non ?
  • Pourquoi la frontière de l' arc fermé simple à deux éléments je comprend pas ?

    Je pense qu' il existe (rajoutons que pour moi un arc est continue) par ce que si tu montre que dans le cas général ca existe pas tu montre dans la foulée q' une ellipse n' est pas homéomorphe à un cercle et ça c' est faut
  • Oui ca marche RémiB ca prend de seconde je sais pas pourquoi j' y ai pas pensé plus tot j' etais empétré dans mon idée de départ.

    merci à tous
  • Oui, je pense que que Remi à raison.

    Pour Smallux, je ne comprend pas ton dernier post, la frontière n'est certainement pas un discret!
    L'ellipse et le cercle son bien sûr homéomorphe (à condition de prendre un paramétrage bijectif...), elles ont le même indice d'Euler-Poincaré

    r
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