Un problème de poursuite

fb0 · April 2006

Je vous soumets le petit problème amusant suivant.

Un chien féroce se promène librement le long d'un cercle à une vitesse constante égale à $4v$. Il ne peut pas quitter le cercle mais peut décider de changer de direction. Un homme se trouve au centre de ce cercle, capable de se déplacer librement dans toutes les directions à la vitesse $v$. Son but est de sortir du cercle. On admet que le chien est capable de discerner la meilleure direction à prendre pour pouvoir intercepter l'homme. Ce dernier pourra-t-il échapper au méchant chien?

Tertiath · April 2006

En général je suis nul sur ce genre de problème !

Mais comme j'assume ma nullité, je réponds :
je dirai que ça dépend du rayon du cercle !
D'après mes calculs de moineaux (lol), si $r > \frac{\pi}{2}$ alors c'est bon, sinon non...

Je suis à côté de la plaque ?

"Nous ne cherchons jamais les choses, mais la recherche des choses." Pascal
"On en vient à aimer son désir et non plus l'objet de son désir." Nietzsche

Tertiath · April 2006

^Pardon je voulais dire si $r < \frac{\pi}{2}$ c'est bon, sinon NON !

"Nous ne cherchons jamais les choses, mais la recherche des choses." Pascal
"On en vient à aimer son désir et non plus l'objet de son désir." Nietzsche

Tertiath · April 2006

Bon je raconte n'importe quoi !! Je réfléchis et je reviendrai quand j'aurai une réponse correcte ! lol
désolé de réfléchir après avoir posté !

Tertiath · April 2006

$v=\frac{d}{t}$ d'où $t=\frac{d}{v}$.
Je pense que comme l'homme doit parcourir $r$ mètres (le rayon), le plus simple est qu'il parte de manière à ce que le chien parcourt le plus de mètres possible, c'est-à-dire $\pi r$ mètres.
Alors $t_{chien}=\frac{\pi r}{4v}$ et $t_{homme}=\frac{r}{v}$
d'où il s'en sort si $1< \frac{\pi}{4}$, ce qui n'est pas le cas !!

DONC IL NE S'EN SORT PAS !!

J'ai juste ou je vais me pendre ?

"Nous ne cherchons jamais les choses, mais la recherche des choses." Pascal
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SadYear · May 2006

Chercher à atteindre le bord le plus rapidement possible n'est donc pas une solution pour l'homme mais ça ne veut pas dire qu'il n'y a pas moyen pour lui de s'échapper...

Ne peut-on pas imaginer un parcours tel que l'homme coure toujours de manière à ce que lui et le chien soit toujours sur un diamètre du cercle ?

Je m'explique :

A l'instant t = 0 : l'homme part dans la direction opposée au chien, le chien choisit donc une direction (disons à sa droite) dans laquelle il se met à courir.

A l'instant t = 0 + epsilon infinitésimal : l'homme corrige sa direction de manière à toujours garder le chien qui court exactement dans son dos.

On pourrait donc paramétrer le parcours de l'homme H(t) et celui du chien C(t) comme suit :

Disons que l'on repère et oriente le plan euclidien (O, i, j) de la manière usuelle. Le cercle considéré est de rayon R et le chien part de (1, 0).

Le chien se balade sur le cercle à vitesse constante :

> --> -->
OC(t) = R * cos(4 * v * t / R) * i + R * sin(4 * v * t / R) * j

>
||OC'(t)|| = 4 * v

L'homme court à vitesse constante v en gardant toujours le chien dans ses 6h :

>

>
OH(t) = - w(t) * OC(t)

>
avec w(t) positive tq ||OH'(t)|| = v

Notons c = cos(4 * v * t / R) et s = sin(4 * v * t / R) et supposons w dérivable alors :

>
OH'(t) = (w(t) * R * c + w'(t) * 4 * v * s, - w(t) * R * s - w'(t) * 4 * v * c)

>
et ||OH'(t)||² = (R * w(t))² + (4 * v * w'(t))²

Il suffit donc de montrer l'existence d'une fonction w(t) positive et dérivable (pour des temps suffistants) tq : (R * w(t))² + (4 * v * w'(t))² = v² avec w(0) = 0 (et donc w'(0)² = 1/16)

Supposons l'existence d'une telle fonction alors en particulier en dérivant l'équation ci-dessus on a (w supposée deux fois dérivable) :

R² * w(t) * w'(t) + 4 * v² * w'(t) * w''(t) = 0

En particulier :

w''(t) + (R/2v)² * w(t) = 0 serait suffisant.

Les solutions de cette dernière éq. diff sont les A*cos(R/2v * t) + B*sin(R/2v * t).

La condition w(0) = 0 force A = 0 et w'(0)² = 1/16 force B² = 1/4 * (v² / R²).

La positivité de w force donc B = 1/2 * (v / R)

Ainsi w(t) = (v / 2R) * sin(R/2v * t) pourrait donc convenir (si v > 2*R)

Une bonne âme pour vérifier ces calculs ?

Qu'en pensez-vous ?

fb0 · May 2006

Terliath, effectivement si l'homme part en ligne droite, il se fera rattraper par le chien puisque $\pi < 4$, la distance à parcourir par le chien est inférieure à 4 fois celle de l'homme. Mais est-ce la seule stratégie pour l'homme?

Sadyear, j'ai vérifié tes calculs, en suivant ta méthode je trouve l'équation différentielle

$R^2 w'(t)^2 + 16 v^2 w(t)^2 = v^2 \qquad w(0)=0$

Bien vu pour la résolution en dérivant l'équation différentielle, je trouve alors

$w(t) = \frac{1}{4} \sin \frac{4vt}{R}$

Cette stratégie ne permet donc pas à l'homme d'atteindre le bord du cercle! Y en a-t-il d'autres?

Domi1 · May 2006

Une solution simple :

On note I le centre du cercle et R son rayon , l'homme se positionne sur un cercle de centre I et rayon r tel que : $(4 - \pi).R < 4r < R$ .

Comme $4r < R$ l'homme peut gagner une position diamétralement opposée à celle du chien . Et comme $4(R-r) < \pi . R$ , l'homme atteind le cercle avant le chien .

Ce qui se passe après est une autre histoire .

Domi

fb0 · May 2006

Effectivement Domi, l'homme peut donc échapper au chien!
 
 Voici d'autres questions auxquelles je n'ai pas encore la réponse:
 
 Quelle stratégie adopter pour l'homme pour que
<OL><LI>Il quitte le cercle en un temps le plus court?
 </LI><LI>Il quitte le cercle en se trouvant à la distance la plus grande possible du chien?
 </LI></OL>

SadYear · May 2006

fb : effectivement une erreur de calcul s'est glissée dans mon raisonnement : l'équa. diff. est bien :

w'' + (R/4v)² w = 0

Avec conditions initiales : w(0) = 0 et w'(0) = 1/4.

La solution de cette équa. diff. est alors w(t) = V/R * sin(Rt/4v).

Et on voit que cette solution vérifie bien : (R * w(t))² + (4 * v * w'(t))² = v² et qu'elle est positive sur la demi-période du sinus.

En particulier si R <= V alors il existe un temps t0 tel que w(t) = 1 et c'est le temps auquel l'homme touche le cercle.

Si R > V on ne peut pas conclure et il faut donc trouver autre chose.

fb0 · May 2006

Non, l'équation différentielle en $w''$ est

$w''(t) + (\frac{4v}{R})^2 w(t) = 0$ avec les conditions initiales $w(0)=0$ et $w'(0) = \frac{v}{R}$.

Ce qui donne bien comme solution $w(t) = \frac{1}{4} \sin (\frac{4vt}{R})$. On ne peux pas avoir $v/R$ dans l'expression que tu donnes pour $w(t)$ pour des raisons d'homogénéité, $w(t)$ doit être un nombre sans unité.

On peut remarquer dans ton raisonnement que si l'homme arrive à sortir du cercle, il le fera en un point diamétralement opposé du chien. Ce qui est quand même beaucoup demander non?

SadYear · May 2006

Oui, en effet c'était beaucoup demandé ! ^_^

En fait j'ai mal dérivé mon OH(t) ... d'où la mauvaise équa. diff.

Merci d'avoir repris les calculs et merci à Domi pour cette solution bien plus simple.

GG7 · May 2006

bonjour,
à part les 2 question de fb, il y en a une troisième : si le chien va k fois plus vite que l'homme, quelle est la valeur max de k pour que l'homme puisse s'échapper ? (on voit que k = pi + 1 est la valeur max pour que l'homme puisse à la fois rester à l'opposé du chien dans le cercle de rayon
r = R/k et partir pour sortir puisque R-r <= pi.R/k, mais ce n'est certainement pas la plus grande puisqu'il peut partir en diagonale).

fb0 · May 2006

J'ai l'impression moi aussi que $k=\pi+1$ n'est pas la valeur optimale. Mais si l'on suppose qu'il y a une solution optimale, alors le chemin suivi par l'homme ne peut être qu'une ligne droite (ou au moins une ligne brisée), car il est toujours plus court pour l'homme de suivre une ligne droite plutôt que courbe entre deux points donnés. En fait j'ai l'impression que tout dépend dans quel demi-cercle le chien se situe par rapport à l'homme à un instant donné.

Mikaël2 · May 2006

pour votre equa diff, c'est tordu parce que le toutou il galope a vitesse constante mais il peut changer de direction sauf que sur un cercle, ce passage n'est pas continu, le vecteur tangent change brutalement ( ce qui est bien sur impossible dans la realité, le chien doit ralentir s'arreter puis repartir ) je crois donc que ce n'est pas la peine de s'arracher les cheveux sauf si vous transformez les hypotheses de depart et donc tout le probleme ( qui m'a l'air tout a fait interessant )

GG7 · May 2006

intuitivement,
1° (temps le plus court = distance le plus courte) : succession de tronçons de spirales (à calculer) dans un sens ou dans l'autre (selon que le chien va dans un sens ou dans l'autre, nbe de changements dénombrable

jusqu'à r = R(1-pi/k) qui laissent en permanence le chien opposé (ça a l'air possible), puis segment radial, et ne pas oublier de lever le pieds, le chien étant sur nos talons

-

2° (sortir le plus éloigné du chien) : même trajectoire jusqu'à r = R/k puis segment oblique avec un angle à calculer.

ruffi · January 2013

Dans un premier temps, cela ne résout pas son problème , mais il est amusant de noter que si l'homme se met à courir sur un cercle de rayon quatre fois plus petit que celui R du chien , la situation est stable puisqu'ils font le tour de leur cercle dans le même temps. j'en déduis que tant que l'homme n'a pas dépassé le quart du cercle, , s'il souhaite garder le chien aligné avec le centre du cercle, il peut le faire, ce qui est la meilleure stratégie pour lui à ce stade, même si cela va lui demander un temps très long, , pour réaliser cette condition idéale. Il lui suffit de se mettre en cercle sur un rayon légèrement inférieur à 1/4 , il tourne alors plus vite que le chien et peut se placer aligné avec le centre, ce qui correspond à la plus grande distance entre lui et le chien à ce stade. Ensuite, changement de stratégie, puisque le chien doit faire 3.14 Rpour aller au point diamètralement opposé alors qu'en allant radialement, l'homme n'est qu'à 3/4R. Même en allant quatre fois moins vite, il arrive avant: le temps pour franchir 3/4 R à une vitesse 4 fois plus faible est inférieur au temps pour franchir 3.14R, dans le rapport 3/3.14 CQFD
Cela lui évite au surplus des calculs compliqués pour majorer la distance entre lui et le chien llorsqu'il arrive sur le cercle
Moralité: l'intelligence humaine évite les erreurs d'une modélisation mathématique ne tenant pas compte des réactions des individus. aucune allusion aux crises financières, bien entendu.....

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