primitive de (cos(x))^2

ted
ted
dans Les-mathématiques
Dans des livres de terminale on trouve cette primitive :
$\int_{}^{}$cos²(x)dx en exercice, comment font-ils pour la calculer ?
car la méthode que je connais est la suivante :
on écrit cos² (x) =1/2+(cos (2x))/2 et puis on cherche la primitive de $x\longrightarrow$cos(2x) qui nécessite un changement de variable, or à ma connaissance ceci n'est pas au programme de TS.
Merci d'avance


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Réponses

  • Jabir1
    Jabir1
    Oui mais tu sais en revanche que les fonctions de la forme $u'f'(u)$ ont pour primitive les fonctions de la forme $f(u)+K$.
  • ryo0
    ryo0
    ou alors en ecrivant $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ mais je suis pas sur que ce soit au programme (ca avait ete enleve l'annee ou j'ai passe le bac mais peut-etre qu'il y a au un retour)
  • ted
    ted
    en effet, merci à vous 2
  • borde
    borde
    En revanche, ce qui est programme de terminale S, c'est la chose suivante : pour tout réel $a \not = 0$, les primitives sur $\R$ de la fonction $x \mapsto \cos(ax+b)$ sont les fonctions $\displaystyle {x \mapsto \frac {1}{a} \sin(ax+b) + k$, et, de même, les primitives sur $\R$ de la fonction $x \mapsto \sin(ax+b)$ sont les fonctions $\displaystyle {x \mapsto - \frac {1}{a} \cos(ax+b) + k$.

    Je suggère de bien savoir cela, ça pourrait servir pour le bac.

    {\bf Exercice}. Déterminer les primitives sur $\R$ de la fonction $x \mapsto \sin^2 x$.

    Borde.
  • borde
    borde
    En revanche, ce qui est programme de terminale S, c'est la chose suivante : pour tout réel $a \not = 0$, les primitives sur $\R$ de la fonction $x \mapsto \cos(ax+b)$ sont les fonctions $\displaystyle {x \mapsto \frac {1}{a} \sin(ax+b) + k}$, et, de même, les primitives sur $\R$ de la fonction $x \mapsto \sin(ax+b)$ sont les fonctions $\displaystyle {x \mapsto - \frac {1}{a} \cos(ax+b) + k}$ (avec $k \in \R$).

    Je suggère de bien savoir cela, ça pourrait servir pour le bac.

    {\bf Exercice}. Déterminer les primitives sur $\R$ de la fonction $x \mapsto \sin^2 x$.

    Borde.
  • Yalcin
    Yalcin
    Je crois cette méthode va bien pour ted

    $$
    \displaylines{
    \int\limits_a^b {\cos ^2 x} dx = \int\limits_a^b {\underbrace {\cos x}_{u'(x)}} \underbrace {\cos x}_{v(x)}dx = \left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b - \int\limits_a^b {u(x)v'(x)} dx \cr
    = \left[ {\sin x\cos x} \right]_\"a ^b - \int\limits_a^b {\sin (x) \times \left( { - \sin (x)} \right)} dx = \left[ {\sin x\cos x} \right]_\"a ^b + \int\limits_a^b {\sin ^2 x} dx \cr
    = \left[ {\sin x\cos x} \right]_\"a ^b + \int\limits_a^b {\left( {1 - \cos ^2 x} \right)} dx = \left[ {\sin x\cos x} \right]_\"a ^b + \int\limits_a^b {dx} - \int\limits_a^b {\cos ^2 x} dx \cr
    = \left[ {\sin x\cos x} \right]_\"a ^b + \left[ x \right]_a^b - \int\limits_a^b {\cos ^2 x} dx = \left[ {{1 \over 2}\sin \left( {2x} \right) + x} \right]_\"a ^b - \int\limits_a^b {\cos ^2 x} dx \cr
    2\int\limits_a^b {\cos ^2 x} dx = \left[ {{1 \over 2}\sin \left( {2x} \right) + x} \right]_a^b \Rightarrow \int\limits_a^b {\cos ^2 x} dx = {1 \over 2}\left[ {{1 \over 2}\sin \left( {2x} \right) + x} \right]_a^b \cr}
    $$

    Cordialement Yalcin

    {2}\sin \left( {2x} \right) + x} \right]_a^b \\
    \end{gathered}
    \]

    Cordialement Yalcin
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Je crois cette méthode va bien pour ted <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><TABLE CELLPADDING="0" WIDTH="100%" ALIGN="CENTER"><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="89" HEIGHT="59" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \int_a^b {\cos^2 x} \mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="134" HEIGHT="62" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle = \int_a^b {\underbrace {\cos x}_{u'(x)}} \underbrace {\cos x}_{v(x)}dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="224" HEIGHT="59" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img4.png&quot; ALT="$\displaystyle = \left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b - \int_a^b {u(x)v'(x)}\mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="295" HEIGHT="59" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img5.png&quot; ALT="$\displaystyle = \left[ {\sin x\cos x} \right]_a^b - \int_a^b {\sin (x) \times \left( { - \sin (x)} \right)} \mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="204" HEIGHT="59" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img6.png&quot; ALT="$\displaystyle = \left[ {\sin x\cos x} \right]_a^b + \int_a^b {\sin ^2 x} \mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="248" HEIGHT="59" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img7.png&quot; ALT="$\displaystyle = \left[ {\sin x\cos x} \right]_a^b + \int_a^b {\left( {1 - \cos ^2 x} \right)} \mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="268" HEIGHT="59" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img8.png&quot; ALT="$\displaystyle = \left[ {\sin x\cos x} \right]_a^b + \int_a^b {\mathrm dx} - \int_a^b {\cos ^2 x} \mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="251" HEIGHT="59" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img9.png&quot; ALT="$\displaystyle = \left[ {\sin x\cos x} \right]_a^b + \left[ x \right]_a^b - \int_a^b {\cos ^2 x} \mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="241" HEIGHT="62" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img10.png&quot; ALT="$\displaystyle = \left[ {{1 \over 2}\sin \left( {2x} \right) + x} \right]_a^b - \int_a^b {\cos ^2 x} \mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="90" HEIGHT="77" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img11.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline 2\int\limits_a^b {\cos ^2 x} \mathrm dx
    \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="193" HEIGHT="62" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img12.png&quot; ALT="$\displaystyle = \left[ {{1 \over 2}\sin \left( {2x} \right) + x} \right]_a^b \quad\mathrm{Donc}$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="89" HEIGHT="59" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \int_a^b {\cos^2 x} \mathrm dx$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="156" HEIGHT="62" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/30/86494/cv/img13.png&quot; ALT="$\displaystyle = {1 \over 2}\left[ {{1 \over 2}\sin \left( {2x} \right) + x} \right]_a^b
    \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR></TABLE></DIV><BR CLEAR="ALL"><P></P>
    <BR>Cordialement Yalcin<BR>
  • ted
    ted
    bien vu Yalcin !
  • Le Furet
    Le Furet
    L'IPP est au programme de TS ?
  • borde
    borde
    Oui, Le Furet, l'IPP est (toujours) au programme de terminale S...Le changement de variable à, quant à lui, disparu des programmes il y a quelques années.

    Maintenant, faire une IPP pour les primitives des fonctions ci-dessus me semble être un peu lourd, non ?

    Borde.
  • Yalcin
    Yalcin
    Oui c'est vrai Borde, mais Ted croyait que les élèves de TS ne connaissaient pas les primitives de cos(ax+b) et sin(ax+b)
    c'est pour cette raison que je lui ai proposée la méthdoe de IPP.
  • borde
    borde
    OK, Yalcin, mais ce n'est pas à toi (directement) que je répondais...

    Borde.
  • Yalcin
    Yalcin
    d'accord
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