compacts et 'machin-compacts'

bonjour
pour leçon agreg relative à la compacité

j'essaie de relier entre elles les notions de compact, précompact,
relativement compact et localement compact

on a: ( les contre-exemples sont dans IR)

1) compact ====>précompact
et contrex: ]0,1[ précompact, non compact

2) compact ====> localement compact
contrex: IR localement compact, non compact

3) compact =====> relativement compact
contrex: ]0,1[ relativement compact, non compact

il reste six implications ou contre-exemples à écrire entre pré, localement
et relativement compact; je sais ,j'ai donné les plus faciles. continuons:

4) IR est localement compact ,non précompact

question: y-a-t il encore des implications, ou uniquement des contrex ?

merci

Réponses

  • Dans un espace métrique complet, la précompacité équivaut à la compacité.
    (je ne me souviens plus si l'hypothèse de complétude est nécessaire, sans doute que oui vu que la preuve dont je me souviens fabrique une suite de Cauchy)
  • Euh, c'est bien joli tout cela mais l' inttulé est utilisation de la compacité, crois tu vraiment que ces contres exemples sont pertinents dans cette leçon?
  • bonjour corentin

    oui,ona:

    compact ====> complet
    compact ====> précompact

    et: complet et précompact ===> compact

    d'ailleurs , pourquoi ces deux notions uniformes entrainent-elles une notion
    topologique? ça m'a toujours intrigué .
    un topologue peut-il aussi répondre à cette question ?
    merci
  • bonjour pilz
    certainement tu as raison, mais dans les questions qui suivent le
    développement , ça peut trouver sa place;le jury peut oser poser ce type
    de question.
    dans tous les cas ,il y a une réponse d'ordre topologique que j'aimerais
    connaître, ne serait ce qu'à titre culturel
    merci
  • d' accord, j' avais fait cette remarque car j' avais cru que tu voulais mettre cela dans la leçon! sinon c'est sûr qu'il est toujours bon d' avoir sous la main quelques exemples et contre exemples.

    concernant ta question je ne comprends pas trop ce que tu entends par notion uniforme et notion toplogique
  • pour pilz
    tu as:

    distance équivalente (1) ==> dist uniformément équiv (2)==>dist topologiquement équivalente(3)


    (3)conserve ouverts ,fermés,adhérence ,compacité...:(ce sont les notions topologiques)

    (2)conserve suites de Cauchy, espaces complets,précompacité ...:( ce sont les notions uniformes:), ainsi que les notions conservées en (3)


    (1) conserve les distances point-point,les distances point-ensemble ...(ce sont les notions isométriques) , ainsi que les notions conservees en 2 et 3

    je ne suis pas certain d'avoir été très clair,mais dans tout livre de topo, tu trouveras des explications plus convaincantes.
  • Pour bs,
    pour ta question (pourquoi une notion métrique implique une notion topologique), je dirais que c'est simplement parce que la donée d'une métrique définit une topologie.

    Ce serais plutôt la réciproque qui serait étonnante.

    RRt

    (j'espère avoir bien compris ta question et y avoir répondu corectement...)
  • bonjour,
    j'exhume cet ancien fil car dans un cours manuscrit, j'ai lu récemment:

    relativement compact ==>précompact ( sans preuve )
    mais peut-on dire: A rel.comp. ==> adh(A) comp. ==>adh(A) précomp. ==> A précomp. ?

    si les deux notions existent c'est qu'elles diffèrent, merci de m'indiquer un contre-exemple dans l'autre sens.

    merci
  • Salut,

    En espérant que ce soit utile (même si certaines propriétés ont déjà été citées), voilà ce qui me vient en tête :

    - Si $X$ est un espace \underline{métrique} :
    $X$ compact {\bf ssi} $X$ précompact et complet


    - Si $X$ est un espace \underline{métrique complet} et $A \subset X$ :
    $A$ relativement compacte ssi $A$ précompacte
    (pour l'implication directe ($\Rightarrow$), pas besoin de la complétude)


    - Si $X$ est un espace \underline{séparé} :
    $A \subset X$ relativement compacte {\bf ssi} $\overline{A}$ compacte {\bf ssi} $A$ contenue dans une partie compacte


    - Soit $A \subset X$, $X$ espace topologique

    * Si $X$ est \underline{métrique} ou est un \underline{e.l.c. séparé}, $A$ relativement compacte $\Rightarrow \, \, A$ bornée
    Si $X$ est séparé et vérifie la propriété de Montel, on a la réciproque

    * Si $X$ est métrique, $A$ précompacte $\Rightarrow \, \, A$ bornée



    Bonne journée.

    michaël.
  • Ah oui, y'a aussi $A$ faiblement relativement compact $\Rightarrow \, \, A$ faiblement bornée (si $X$ est un e.v.n.).
  • merci michael,
    que signifie faiblement?
  • faiblement= pour la topologie faible. (topologie la plus faible qui rend continue les formes linéaires continues)
  • merci
  • Bonjour,
    <BR>juste pour signaler que la relation :
    <BR>"précompact" versus "relativement compact" se trouve ci-dessous , explications de : le barbu rasé.
    <BR>
    <BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=343691&t=343568#reply_343691"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=343691&t=343568#reply_343691</a><BR&gt;
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