th de convergence dominée

Salut,

Voici mon problème :

On pose $T = [-\pi ; +\pi]$, Soit $f \in L^{1}(T)$ et $g$ une fonction continue sur $T$. On suppose en plus qu'il existe une suite $g_n$ qui converge uniformément vers $g$. Comment montrer que :

$\int_{- \pi}^{\pi}f(t)g(t)dt = lim_{n \longrightarrow \infty} \int_{- \pi}^{\pi}f(t)g_n(t)dt$

Cet exo est dans une série qui utilise le théorème de convergence dominé.
Mais je vois pas comment majorer $|f(t)g(t)|$.

Merci d'avance.

Réponses

  • euh je veux dire que j'arrive pas à majorer $|f(t)g_n(t)|$ indépendemment de $n$.
  • Essaie de majorer la suite gn, comme elle converge uniformement cela doit être faisable en prenant un epsilon bien choisi.
  • Bonjour Coincoin,


    On a pour $n \geq n_0$, $|g_n(t)|
  • Il me semble qu'il n'y a pas besoin du théorème de convergence dominée :
    $|\int f(t) (g_n(t)-g(t))dt| \leq \int |f(t)| |g_n(t)-g(t)|dt \leq \|g_n-g\|_{L^\infty}\int |f| \to 0$

    car $g_n$ converge uniformément vers $g$.

    Cordialement,

    Thibaut Allemand
  • vous avez $g(t)$ continue sur le compact$\mathbb{T}=[-\pi , \pi]$ alors elle est bornée sur ce compact et $f(t) \in \mathbb{L}(\mathbb{T})$ qu'implique que $f(t)$ borne sur $\mathbb{T}$ d'ou la bornitude du produit
  • Onze ans après, qu'est-ce qu'il va être content !!
  • Était-il vraiment nécessaire de remonter un fil vieux de onze ans pour dire ça ?
  • pensez vous que c'est seulement pour la personne qui a possé la question !!! essayer de juger les mathématiques ou bien d'aider les autres mieux que moquer de moi
    Bonne continuation!
  • Il y'a clairement un problème de mesure du temps!!
    (:P)
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